En caso de $SU(2)$ en realidad esta convención no es muy útil, puesto que ya existe una fórmula genérica para tensar $SU(2)$ irreps: $$ j_1 \otimes j_2 = \left| j_1 - j_2 \right| \oplus \dots \oplus \left( j_1 + j_2 \right). $$
Pero describiré el genérico ya que la misma convención se aplica también al algoritmo $SU(3)$ donde es realmente muy útil.
Nótese que estoy dando una visión general y, por tanto, todo lo que sigue es matemáticamente impreciso.
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Para cada álgebra de Lie simple compleja, existe una subálgebra abeliana máxima denominada Subálgebra de Cartan . La dimensionalidad de la subálgebra de Cartan se denomina rango del álgebra de Lie. El rango de $\mathfrak{su}_2$ es $1$ y la subálgebra de Cartan se elige convencionalmente como $\mathfrak{c} = \text{Span}(J_z)$ (un tramo lineal del $J_z$ generador de $\mathfrak{su}_2$ . El rango de $\mathfrak{su}_3$ es 2, y la subálgebra de Cartan se elige convencionalmente como $\mathfrak{c} = \text{Span}(\lambda_3, \lambda_8)$ (con $\lambda_1 \dots \lambda_8$ las matrices de Gell-Mann). Obsérvese que $\lambda_3$ y $\lambda_8$ de hecho se desplazan.
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Una base especialmente interesante en el álgebra de Lie viene dada por la Base de Cartan-Weyl que consiste en:
- Una base en la subálgebra de Cartan llamada $c_{\alpha}$ . Sea $n$ es el rango del álgebra de Lie, entonces $\alpha$ va desde $1$ a $n$ .
- Una base formada por vectores propios de la acción adjunta de $c_{\alpha}$ en el álgebra de Lie. Se denominan raíces y se denota $r_e$ con $\vec{e}$ un vector en el $n$ -espacio radicular. Por definición, $$ \left[ c_{\alpha}, r_e \right] = e_{\alpha} r_e, $$ donde $e_{\alpha}$ son los componentes del vector $\vec{e}$ en el espacio raíz. Esta fórmula sólo dice que $r_e$ es un vector propio de la acción adjunta de $c_{\alpha}$ con valores propios $e_{\alpha}$ .
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Claramente, el álgebra de Lie se descompone en generadores de Cartan y raíces. Las raíces forman el diagrama de raíces del álgebra de Lie. Los irreps finito-dimensionales del álgebra de Lie se pueden clasificar por diagramas de pesos, que son patrones simétricos en el espacio de raíces consistente en puntos, con vectores raíz que conectan los puntos vecinos. Obsérvese que el diagrama raíz es también un diagrama de pesos, para la representación adjunta. Hay dos hechos extremadamente importantes sobre los diagramas de pesos:
- Coordinaciones de la peso (un punto en el patrón) representan los valores propios del peso con respecto a los generadores de la subálgebra de Cartan (lo mismo ocurre con las raíces y la acción adjunta).
- La suma vectorial del vector raíz y el radio-vector del peso representa la acción del elemento del álgebra de Lie sobre el elemento de la representación.
Para $SU(2)$ , $n = 1$ y los diagramas de pesos son unidimensionales. Las raíces son $J_1 \pm i J_2$ y sus vectores raíz son $-1$ y $1$ (recuerda que son unidimensionales). El número de pesos en el diagrama clasifica irreps completamente (es naturalmente la dimensión del irrep y se relaciona con la espín por $\text{dim}(j) = 2j + 1$ ).
Para $SU(3)$ , $n = 2$ y los diagramas de pesos son bidimensionales. Forman bonitos patrones triangulares descritos al final de la presentación que te interesa.
Pasemos ahora al algoritmo de tensado de los irreps.
Empiezas con dos irreps, representados por dos diagramas de pesos. Ahora imagina un pequeño diagrama de pesos para irrep $B$ en lugar del punto para cada peso del diagrama de pesos de $A$ . Ahora amplía el tamaño del diagrama de pesos hasta que los puntos vecinos se encuentren.
Ahora intenta identificar partes del resultado como diagramas de pesos pertenecientes a los irreps $c_i$ y ráspalos de tu dibujo. Así obtendrá
$$ a \otimes b = c_1 \oplus \dots \oplus c_k. $$
Espero haber descrito el proceso con suficiente claridad, ya que no me gusta dibujar cosas (lo siento).
En cuanto a su ejemplo, que es $3/2 \otimes 1$ intente hacer lo que acabo de describir con el $3/2$ diagrama de pesos (4 puntos conectados por 3 líneas) y $1$ (3 puntos con 2 líneas), obtendrás algo como esto (disculpas por el pobre dibujo):
![enter image description here]()
Aquí empecé con el (negro) $3/2$ diagrama de pesos y para cada peso dibujó un (verde) $1$ diagrama de pesos en su lugar.
Luego miré el lío resultante y lo descompuse en tres diagramas de pesos para irreps $5/2$ , $3/2$ y $1/2$ lo que significa que
$$ 3/2 \otimes 1 = 1/2 \oplus 3/2 \oplus 5/2, $$
de acuerdo con la primera fórmula de mi respuesta :)
Espero que le sirva de ayuda. Si necesita alguna aclaración, no dude en decírmelo.
