¿La serie $\sum_{k=1}^{\infty}\arctan{\frac{1}{k}}$ ¿convergen o divergen?

Question

Me habéis ayudado mucho con series y ampliaciones de series, gracias a todos. A ver si se me pega algo. Voy a hacerlo yo mismo y espero buenos comentarios de vosotros.

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Sabemos que $$\arctan\frac{1}{k}=\frac{1}{k}-\frac{1}{3k^3}+O\left(\frac{1}{k^5}\right)=\frac{3k^2-1}{3k^3}+O\left(\frac{1}{k^5}\right)=\left(\frac{3k^2-1}{3k^2}+O\left(\frac{1}{k^4}\right)\right)\frac{1}{k}.$$

Denote $a_k=\arctan(1/2)$ y $b_k=1/k$ . Sabemos que $\sum b_k$ es divergente y por la prueba de comparación de límites tenemos

$$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{a_k}{b_k}=\lim_{k\rightarrow \infty}\left(\frac{3k^2-1}{3k^2}+O\left(\frac{1}{k^4}\right)\right)=\frac{3}{3}=1>0,$$

lo que implica en última instancia que $\sum a_k$ también tiene que ser divergente.

¿Servirá esto?

Answer 1

$\arctan\frac{1}{k}\sim\frac{1}{k}$ que dice que diverge.

Answer 2

La cola gobierna así diverge, de lo contrario $\arctan{\frac1k}-\frac1k$ converge.

Answer 3

$\arctan(x)$ es cóncava en $\mathbb{R}^+$ por lo que para cualquier $x\in(0,1)$ tenemos $\arctan x\geq \frac{\pi x}{4}$ y la serie dada es trivialmente divergente por comparación con la serie armónica.