El artículo de Wikipedia sobre matrices hermitianas ofrece una caracterización alternativa de las matrices hermitianas enlace . Quiero demostrar esto, y estoy teniendo dificultades para completar la prueba. La dirección hacia adelante es bastante sencilla: $$\langle Ax, y\rangle = (Ax)^*y = x^* A^* y = x^* A y = \langle x, Ay\rangle.$$ Para la dirección inversa esto es lo lejos que llegué:
Es tentador decir que esto implica $A = A^*$ lo que demostraría que $A$ es Hermitiana, pero no creo que sea correcto, ya que eso sería división por vectores que no está definida. ¿Estoy en el camino correcto, o hay un enfoque diferente que tiene que ser utilizado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si la igualdad $x^*A^*y=x^*Ay$ es válida para dos vectores cualesquiera $x,y\in\mathbb C^n$ y aplicar esta igualdad a dos vectores $e_j$ y $e_k$ de la base canónica. Por lo tanto $e_j^*A^*e_k=e_j^*Ae_k$ que equivale a $e_jA^*e_k=e_jAe_k$ y esto significa que dos entradas determinadas de las matrices de $A$ y $A^*$ con respecto a la base canónica era igual. ¿Puedes seguir desde aquí?
