Si $A$ y $B$ tienen el mismo grado de nilpotencia, ¿tienen el mismo rango?

Question

Sea $A, B$ sea nilpotente $n\times n$ matrices sobre el campo $K$ . ¿Es correcto lo siguiente?

Si $A$ y $B$ tiene el mismo grado de nilpotencia, entonces $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B $

Answer 1

Esto no es correcto. Como contraejemplo, consideremos $$ A = \pmatrix{0&1\\&0\\&&0\\&&&0}, \quad B = \pmatrix{0&1\\&0\\&&0&1\\&&&0} $$ que tienen grado de nilpotencia $2$ .

Esto es cierto, sin embargo, para $n \leq 3$ ya que las matrices nilpotentes del mismo grado de nilpotencia son necesariamente similares (puesto que tienen la misma forma de Jordan).