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Deje $A$ $x$ $n \times n$ $n \times 1$ matrices, todas las entradas y real estrictamente positiva. Suponga que $A^2 x = x$. Mostrar que $A x = x$.

Estoy atascado durante semanas con el siguiente problema:

Deje $A$ $x$ $n \times n$ $n \times 1$ matrices, respectivamente, con todas las entradas y real estrictamente positiva. Suponga que $A^2 x = x$. Mostrar que $A x = x$.

Este fue el primer conjunto de problemas en un curso de álgebra lineal, basada en el libro escrito por Hoffman & Kunze. No hemos visto autovalores y autovectores todavía. Así, mientras que cualquier solución que utiliza nada más avanzados que los de los primeros 3 capítulos de ese libro es bienvenido (puede incentivar a mí a estudiar algo!), no se soluciona el problema.

Alguien puede ayudar? Gracias!

EDIT: Mi pregunta fue marcado como un duplicado exacto de una pregunta por Igor Caetano Diniz. Mientras que es exactamente la misma pregunta, se que el post tiene una mala respuesta y una respuesta que tiene un teorema que no he estudiado todavía. Así que no resuelve mi problema.

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CodingBytes Puntos 102

El Perron-Frobenius Teorema dice, entre otros, los siguientes: Una matriz cuadrada $A$ estrictamente positivo entradas tiene un autovalor positivo $\rho$, y la correspondiente autovector $y$ estrictamente positivo entradas. Todos los demás valores propios de a $A$ son estrictamente menor en valor absoluto, y los correspondientes vectores propios no tienen todos positiva entradas.

En la situación en la mano, se nos da una matriz de $A$ con un resultado positivo de las entradas. Deje $\rho$ $y$ ser como en el teorema. La matriz $A^2$ ha positiva entradas así, y $y$ es un autovector de a$A^2$, con la correspondiente autovalor $\rho^2$. Ya hemos dicho que la de todos los positivos de vectores $x$ es un autovector de a$A^2$, con la correspondiente autovalor $1$, se sigue de la unicidad parte del teorema que, de hecho,$\rho^2=1$$x=\lambda y$$\lambda>0$. Esto permite concluir que el $Ax=x$.

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