Prueba de la existencia de una secuencia particular

Question

Supongamos que tenemos una secuencia o números reales $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $\sum |a_n|^2 \rightarrow\infty$ (diverge). ¿Cómo prueba uno la existencia de otra secuencia $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $\sum a_nb_n\rightarrow\infty$ y $\sum |b_n|^2 <\infty$

Answer 1

Supongamos que $\sum |a_nb_n|<\infty $ para todos $b\in\ell^2$ . Esto significa que si consideramos la familia de funcionales lineales $\{f_k:\ell^2\to\mathbb C\} $ donde $$f_k (b)=\sum_{n=1}^ka_nb_n. $$ Tenemos que, para cada $b $ , $$\sup_k|f_k (b)|\leq\sum|a_nb_n|<\infty. $$ Por el principio de limitación uniforme, $$\sum|a_n|^2=\sup_k\|f_k\|^2 <\infty. $$

Según lo anterior, si $\sum|a_n|^2=\infty $ tiene que existir algún $b\in\ell^2 $ con $\sum |a_nb_n|=\infty $ .