Secuencia periódica

Question

$(x_n)_n$ es una secuencia definida por la relación $x_{n+2}=|x_{n+1}-x_{n-1}|$ para $n\geq1$ y $x_0,x_1,x_2$ son enteros no negativos, no los tres iguales a 0. Creo que esta secuencia es periódica, así que aquí está mi pregunta: ¿es cierto y si es así cuál es el período? Gracias.

Answer 1

Sí, la secuencia es periódica.

Véase La secuencia es periódica $x_{n+2}=|x_{n+1}-x_{n-1}|$

El periodo depende del $\max\{x_0,x_1,x_2\}$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que el valor absoluto del $x_r$ es como máximo el máximo de $x_{k-2}, x_{k-1}, x_k$ para cualquier $k\lt r$ - no podemos obtener un valor mayor del que ya hemos tenido, por lo que hay un punto en la secuencia en el que alcanzamos el valor más alto.

Supongamos que $x_{n-1}$ es el valor más alto posible. Tenemos $x_{n+2}=x_{n-1}$ sólo si $x_{n+1}=0$ y esto sólo es cierto si $x_n=x_{n-2}$ por lo que si el valor más alto $a$ se sostiene tenemos $\dots x_{n-2}, x_{n-1}, x_n, x_{n+1}, x_{n+2} \dots = \dots b, a, b, 0, a \dots$ con $a\ge b$ .

La secuencia continúa $\dots b,a,b,0,a,a-b,a-b,b \dots$ y a menos que $b=a$ o $b=0$ el valor máximo dentro de la cola de la secuencia ha disminuido (ya que tres términos consecutivos cualesquiera definen el resto de la secuencia, y podríamos considerar que la cola de la secuencia comienza con $a-b, a-b, b$ ). Como no podemos tener una secuencia decreciente infinita de números no negativos debemos llegar a la situación en la que $a=b$ cuando la secuencia va:

$$\dots a,a,a,0,a,0,0,a,a,a \dots$$

En $b=0$ obtenemos la misma secuencia desplazada $$\dots 0,a,0,0,a,a,a,0,a,0 \dots$$ Así pues, la secuencia comienza siendo decreciente antes de convertirse en periódica. Si resulta que $a=0$ hay periodo final $1$ (constante) en caso contrario período final $7$ .