Un problema básico sobre la variación acotada

Question

Si $a > 0$ deje

$$f(x) =\left\{\begin{array}{ll} x^{a} \sin (x^{-a})&\text{if } 0 < x \leq 1\\ 0&\text {if }x=0 \end{array}\right.$$

¿Es cierto que para cada $0 < \alpha < 1$ la función anterior satisface la condición de Lipschitz de exponente $\alpha$

$$|f(x) - f(y)| \leq A|x-y|^{\alpha}$$ pero que no es de variación acotada. Necesito alguna pista para empezar.

Answer 1

Es sólo un indicio, no una prueba completa. Espero que sea suficiente para ti. Considere el caso $a=1$ y las otras son muy similares. Puede considerar la siguiente partición de $[0,1]$ .

$$[0,1]= \left [\frac{1}{\pi},1 \right ]\cup\ \bigcup_{k=1}^n \left [\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi} \right ]\cup \left [0,\frac{1}{n\pi} \right ].$$

Ahora tienes que la variación de esta partición satisface

$$Var\geq\sum_{k=1}^n \left |f \left (\frac{1}{k\pi} \right )-f \left (\frac{1}{(k+1)\pi} \right ) \right |\geq \sum_{k=1}^n \left |\frac{1}{k\pi}+\frac{1}{(k+1)\pi} \right |$$

pasando al límite para $n\rightarrow\infty$ se obtiene que $Var$ diverge. Como se trata de una partición particular se puede deducir que $f$ no es $BV$ .