Validación del teorema de Gauss Bonnet con círculos hiperbólicos

Question

Cómo verificar el teorema en el caso de un radio de círculo hiperbólico $r$ para una curvatura de Gauss negativa constante $ K=-1/a^2 $ y curvatura geodésica constante $k_g $ ... por ejemplo, como aquí ...

$$k_g=1/r \tag1 $$

$$ \int k_g ds + \int\int K dA = 2 \pi \tag2 $$

(Coordenadas polares geodésicas) Perímetro y área conectado desde :

$$ Perimeter = 2 \pi a \sinh (r/a) ,\, Area= 4 \pi a^2 \sinh^2(r/2a) \tag3 $$

ya que se reducen a $ ( 2\pi r, \pi r^2) $ cuando $ a\rightarrow \infty$

$$\frac{\pi a \sinh (r/a) }{ r } -{ 4 K \pi a^2 \sinh^2 (r/2a)} = 2 \pi $$

no cuadra en general. También cuando $ r\rightarrow 0, \pi + \pi (r/a)^2 \ne 2 \pi$

Está claro que (1) se supone intencionadamente errónea, pero entonces ¿qué es lo correcto? Hay que definirlo correctamente en el plano tangente o en el plano hiperbólico que no conozco.

Dado que un cálculo directo (como para el caso $ K=+1/a^2 $ ) parece difícil el único recurso es un cálculo indirecto. Para este caso tenemos después de una cierta simplificación:

$$ \boxed{a \, k_g= \coth (r/a ), R_g=a \tanh (r/a)}\tag4$$

verificado introduciendo esto en GB thm (1). Cuando

$$r\rightarrow \infty,\,k_g \rightarrow \,(1/a),\, R_g \rightarrow \,a \tag5 $$

$$r=0 ,k_{g} = \infty \tag6 $$

como era de esperar para un círculo puntual.

(4) es un resultado nuevo (para mí) sorprendente y aparentemente anómalo porque está acotado. Hay no hay forma de comprobarlo directa o conceptualmente reforzándola con otros teoremas o resultados más conocidos de la geometría hiperbólica.

Y esa es la motivación de este post...

Mostrar cómo se colocan/pueden colocarse geométricamente estos círculos hiperbólicos en los modelos hiperbólicos disponibles (semiplano de Poincaré, disco de Poincaré y de Klein )

Answer 1

Fijar $a > 0$ . Como has comprobado, en el plano hiperbólico con curvatura $-\frac{1}{a^{2}}$ un círculo de radio hiperbólico $r$ tiene curvatura geodésica $$ k_{g} = \tfrac{1}{a} \coth \tfrac{r}{a}. \tag{*} $$ La integral es $$ \int k_{g}\, ds = k_{g} \times \text{perimeter} = 2\pi \cosh \tfrac{r}{a}; $$ ya que la curvatura gaussiana total adjunta es $$ 4\pi \sinh^{2}\tfrac{r}{2a} = 2\pi(\cosh \tfrac{r}{a} - 1), $$ el teorema de Gauss-Bonnet arroja el resultado esperado.

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He aquí un par de maneras de ver por qué (*) es cierto.

En primer lugar, la curvatura geodésica de un círculo de radio intrínseco $r$ en una esfera de radio $a$ es $\frac{1}{a} \cot \frac{r}{a}$ . Según el principio de que las magnitudes esféricas e hiperbólicas "correspondientes" vienen dadas por fórmulas correspondientes con funciones circulares sustituidas por funciones hiperbólicas, cabría esperar que la curvatura geodésica de un círculo hiperbólico de radio $r$ ser $\frac{1}{a} \coth \frac{r}{a}$ .

Segundo (y menos mágico), modelar el plano hiperbólico como el abierto unidad disco en el plano cartesiano, dotado de la métrica $$ g = \frac{4a^{2}(dx^{2} + dy^{2})}{(1 - (x^{2} + y^{2}))^{2}}. $$ Si $0 \leq R < 1$ el segmento radial $(t, 0)$ con $0 \leq t \leq R$ tiene longitud hiperbólica $$ r := \int_{0}^{R} \frac{2\, dt}{a^{2} - t^{2}} = a\log \frac{a + R}{a - R}; $$ es decir, el círculo de radio hiperbólico $r$ centrada en el origen tiene radio euclidiano $$ R = \tanh \tfrac{ar}{2}, \tag{1} $$ y la circunferencia hiperbólica $$ \frac{2a(2\pi R)}{1 - R^{2}} = 2\pi a \sinh \tfrac{r}{a}. $$

Para hallar la curvatura geodésica de un círculo $C$ de radio hiperbólico $r$ dibujar el círculo de radio euclidiano $R$ centrado en el origen, fijar un punto $p$ de este círculo, y dibujar la línea hiperbólica $\ell$ tangente al círculo en $p$ . Porque $\ell$ es el arco de una circunferencia euclidiana que cruza la circunferencia unitaria en ángulo recto, un poco de geometría muestra que $\ell$ es parte del círculo euclidiano de centro $(\frac{1 + R^{2}}{2R}, 0)$ y radio $R' := \frac{1 - R^{2}}{2R}$ .

Sea $d\theta$ sea un ángulo pequeño en el centro de $C$ subtendiendo un arco de longitud hiperbólica $$ ds = \frac{2aR}{1 - R^{2}}\, d\theta = a(\sinh \tfrac{r}{a})\, d\theta. \tag{2} $$ Si $d\phi$ es el ángulo euclídeo indicado subtendido en el centro euclídeo del círculo que representa a $\ell$ entonces (hasta primer orden en $ds$ ) $$ R\, d\theta = R'\, d\phi,\qquad\text{i.e.,}\quad \frac{d\phi}{d\theta} = \frac{R}{R'} = \frac{2R^{2}}{1 - R^{2}}. $$ Según (1), tenemos $$ 1 + \frac{d\phi}{d\theta} = \frac{1 + R^{2}}{1 - R^{2}} = \frac{1 + \tanh^{2} \frac{r}{2a}}{1 - \tanh^{2} \frac{r}{2a}} = \cosh \tfrac{r}{a}. \tag{3} $$

Transporte paralelo a lo largo de $C$ del vector tangente en negrita en $p$ es el vector etiquetado $v$ . El ángulo relativo de giro de la tangente $v'$ al círculo es $d\alpha = d\theta + d\phi$ . La curvatura geodésica en $p$ es la velocidad a la que la tangente a $C$ gira por unidad de longitud. Por (2) y (3), esto es igual a $$ k_{g} = \frac{d\alpha}{ds} = \frac{d\theta + d\phi}{ds} = \left(1 + \frac{d\phi}{d\theta}\right) \frac{d\theta}{ds} = \frac{\cosh \frac{r}{a}}{a \sinh \frac{r}{a}} = \tfrac{1}{a} \coth \tfrac{r}{a}. $$