Generadores de $H^1 (T)$ toma dos

Question

Anteriormente Pregunté cómo probar que $dx + dy$ es un generador del grupo de cohomología de de Rham del toro.

Ahora se me ocurre que $dx$ y $dy$ son también generadores de $H^1(T)$ . Por favor, ¿puede decirme si esto es correcto?

(1) Encontrar un conjunto completo de generadores de $H^1(T)$ Tengo que encontrar dos diferenciales $1$ -formas que son cerradas pero no exactas y que no difieren por una exacta $1$ -forma.

(2) Puesto que $dx,dy$ es un par de $1$ -formas que no son exactas son candidatos prometedores.

(3) Ahora sólo tengo que demostrar que $dx , dy$ no difieren en una $1$ -forma.

¿Cómo puedo demostrar que $dx$ y $dy$ no difieren en una forma exacta?

Answer 1

Esto es muy similar a una parte de la respuesta de Juan a su pregunta anterior así que les dejaré que completen los detalles.

Supongamos que $dx$ y $dy$ diferían por una forma exacta. Entonces $dx - dy = df$ para algunos $f \in C^{\infty}(T)$ . Ahora dejemos que $\gamma$ sea un bucle cerrado y consideremos $\int_{\gamma}dx - dy$ deberías poder concluir que debe ser cero. Ahora encuentra un bucle particular $\gamma$ para la que la integral no es cero.