¿Cuál es el dato de un $S$ -¿morfismo de esquemas?

Question

Supongamos que $X \to S$ y $Y \to S$ son esquemas sobre $S$ . El libro de Hartshorne define un $S$ -morfismo de $X$ a $Y$ como un morfismo $X \to Y$ compatible con los morfismos dados a $S$ .

No estoy seguro al 100% de lo que esto significa.

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Mis pensamientos:

Tenemos mapas continuos $f: X \to Y$ , $g: X \to S$ , $h: Y \to S$ tal que $g=hf$ .

Y tenemos mapas $f^\#: \mathcal O_Y \to f_* \mathcal O_X$ , $g^\#: \mathcal O_S \to g_*\mathcal O_X$ , $h^\#: \mathcal O_S \to \mathcal h_* \mathcal O_Y$ .

Creo que deberíamos tener $g^\# = f^\# h^\#$ pero esto no tiene sentido.

¿Cuáles son los detalles del dato de un $S$ -¿Morfismo?

Answer 1

Decir que un morfismo de esquemas $f\colon X\to Y$ es compatible con los mapas estructurales $g\colon X\to S$ y $h\colon Y\to S$ sólo significa que $g = hf$ como morfismos de esquemas .

Para desentrañar esto, sólo necesitamos saber cómo componer morfismos de esquemas.

El morfismo de esquemas $f$ es realmente un par $(f,f^\#)$ consistente en un mapa continuo de espacios topológicos $f\colon X\to Y$ junto con un mapa de gavillas de anillos $f^\#\colon \mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X$ que cumple la condición de localidad. Utilizaremos la misma notación para $g$ y $h$ .

Ahora, la observación clave es que el pushforward de las láminas a lo largo de un mapa continuo es functorial. Así obtenemos un mapa de tramas de anillos $h_*f^\#\colon h_*\mathcal{O}_Y\to h_*f_*\mathcal{O}_X$ . Obsérvese que el codominio es igual a $(hf)_*\mathcal{O}_X$ : la composición de pushforwards es la misma que el pushforward a lo largo de la composición. El mapa resultante se puede componer con $h^\#\colon \mathcal{O}_S\to h_*\mathcal{O}_Y$ para obtener un mapa $(hf)^\#\colon \mathcal{O}_S\to (hf)_*\mathcal{O}_X$ . El morfismo compuesto de esquemas es $(hf,(hf)^\#)$ .

Bien, ahora asegurémonos de que la igualdad $g = hf$ tiene sentido. Desempaquetar, significa que:

1. $g = hf$ como mapas continuos de espacios topológicos.
2. $g^\# = (hf)^\#$ como mapas de gavillas. El primero es un mapa $\mathcal{O}_S\to g_*\mathcal{O}_X$ y el segundo es un mapa $\mathcal{O}_S\to (hf)_*\mathcal{O}_X$ pero como ya estamos asumiendo que $g = hf$ estos mapas tienen el mismo codominio, por lo que tiene sentido exigir que sean iguales.

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Edita: Después de publicar mi respuesta, editaste la pregunta para preguntar "¿cuáles son los detalles del dato de un $S$ -¿morfismo?". Para que quede claro, el dato de un $S$ -morfismo $X\to Y$ es exactamente igual que el dato de un morfismo de esquemas $X\to Y$ . Sólo necesitamos un propiedad que debe satisfacer este dato: compatibilidad con los morfismos dados a $S$ como he descrito anteriormente.

Answer 2

A $S$ -morfismo $f : X \to Y$ es un morfismo de esquemas $f : X \to Y$ tal que $hf=g$ . Esto dice que $hf=g$ como mapas continuos, y $g^\# : O_S \to g_\ast O_X$ es lo mismo que $(h_\ast f^\#) \circ h^\# : O_S \to h_\ast O_Y \to \underset{g_\ast O_X}{\underbrace{f_\ast h_\ast O_X}}$

Answer 3

Voy a añadir algo que creo que me ayuda a entender este cuadro (puesto que Alex ya ha hecho un buen trabajo explicando las cosas cuidadosamente). Hagamos el caso más simple posible en el que $S=\operatorname{spec}(k)$ para $k=\overline{k}$ . Incluso podría tomar $k=\Bbb{C}$ . Entonces un morfismo de esquemas afines sobre $\operatorname{spec}(k)$ es un diagrama conmutativo de esquemas $$ \require{AMScd} \begin{CD} \operatorname{spec}(A) @>{f}>> \operatorname{spec}(B)\\ @VVV @VVV \\ \operatorname{spec}(k) @>{=}>> \operatorname{spec}(k). \end{CD} $$ $\operatorname{spec}(A)$ y $\operatorname{spec}(B)$ son $k-$ de modo que sus anillos correspondientes $A$ y $B$ son $k-$ álgebras. Entonces el diagrama dual garantiza que el mapa $\varphi:B\to A$ correspondiente a $f$ satisface $\varphi\circ i=j$ donde $i:k\to B$ y $j:k\to A$ son los mapas estructurales de $k-$ álgebras. Entonces, esto sólo dice que a nivel de anillos, nuestros mapas no son más que morfismos de $k-$ álgebras. Obsérvese que esta condición $\varphi\circ i=j$ es necesaria y suficiente para $\varphi$ sea un morfismo de $k-$ álgebras.

Un resultado (ChI sección 1 ejercicios de Hartshorne) muestra que los morfismos de variedades afines $f:X\to Y$ en $k$ corresponden a morfismos $\varphi:A(Y)\to A(X)$ de sus anillos de coordenadas afines vistos como $k-$ álgebras. Así, si queremos tomar nuestra variedad afín $X$ y verlo como un esquema, tomamos $\operatorname{spec}(A(X))$ y análogamente para $Y$ . Entonces se cumple la condición de que $f$ sea un morfismo de esquemas sobre $k$ corresponde en el caso afín a la noción de que especificar un morfismo de variedades en $k$ es equivalente a especificar el mapa en sus anillos de coordenadas.

En general, se puede pensar en un esquema sobre $k$ como un encolado de los espectros de varias $k-$ para que la intuición funcione.

Mencionaré brevemente el caso de $S$ siendo un esquema más general. En este caso, queremos pensar en $X\to S$ como una familia de esquemas $X_s$ parametrizado por puntos $s\in S$ . Más concretamente, si tenemos $X\to \Bbb{A}^1_k$ podríamos pensar que se trata de una especie de familia de $k-$ esquemas parametrizados por los puntos de la línea afín. Entonces se cumple la condición $$ \require{AMScd} \begin{CD} X@>{f}>> Y\\ @VVV @VVV \\ \Bbb{A}^1_k @>{=}>> \Bbb{A}^1_k. \end{CD} $$ significa (esencialmente) que el morfismo preserva la fibra.