¿Por qué la dirección de la curva no importa en la integral lineal respecto al arco?

Question

Entonces sé que la integral lineal respecto al arco es el área y no importa en qué dirección vayamos con la curva obtendremos el mismo resultado. Pero alguien podría mostrarme una demostración que no se base en la interpretación geométrica. Se lo agradecería mucho.

Answer 1

Una forma de definir una integral de línea es como el límite de las sumas de Riemann: $$ \int_\Gamma\omega=\lim_{N\to\infty}\sum_{i=0}^{N-1}\omega(P_i)[\mathbf v_i], $$ donde los puntos $P_i$ son una subdivisión del camino $\Gamma$ y los vectores $\mathbf v_i$ son los desplazamientos entre puntos adyacentes, es decir, $\mathbf v_i=P_iP_{i+1}$ (con un tamaño de malla que se aproxima a cero en el límite, por supuesto). Dado que por linealidad $\omega[-\mathbf v]=-\omega[\mathbf v]$ la integral lineal ordinaria depende de la orientación de $\Gamma$ .

Para la integral de línea absoluta, utilizamos longitudes de esos vectores de desplazamiento en su lugar, es decir, $$\int_\Gamma f\;ds=\lim_{N\to\infty}\sum_{i=0}^{N-1}f(P_i)s_i,$$ donde $s_i=\|\mathbf v_i\|$ . Desde $\|-\mathbf v\|=\|\mathbf v\|$ esta suma claramente no depende de la orientación de $\Gamma$ .