¿Podemos caracterizar las esferas por su simetría?

Question

$n\geq2$ . $c\in\mathbb{R}$ .

Dada una base ortogonal $(e_i)_{i=1}^n$ de $\mathbb{R}^n$ y un hiperplano $P=\{y^1e_1+\cdots+y^{n-1}e_{n-1}+ce_n\ |\ y^1,\cdots,y^{n-1}\in\mathbb{R}\}$ en ella, definimos la reflexión $\Phi_P:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ por $\Phi_P(y^1e_1+\cdots+y^{n-1}e_{n-1}+y^ne_n):=y^1e_1+\cdots+y^{n-1}e_{n-1}+(2c-y^n)e_n$ .

Supongamos que $M$ sea una submanifold orientable cerrada y conectada de $\mathbb{R}^{n}$ de $n-1$ dimensional. Entonces, ¿es cierto que si $\forall p\in S^{n-1}:=\{|x|=1\}$ $\exists c\in\mathbb{R}$ s.t. $\Phi_{\langle p\rangle^\perp+cp}(M)\subset M$ retenciones, $M$ es una esfera ?

Answer 1

Grupo ortogonal pueden generarse por reflexión. Así, si $p\in M$ la esfera $S(p)=\{x : |x|=|p|\}\subset M$ . Si hay otro punto $q\in M-S(p)$ entonces $S(q)\subset M$ . Pero M está conectado, por lo que hay un camino desde $p$ a $q$ . Por continuidad todos los puntos entre $S(p)$ y $S(q)$ pertenece a M, lo que contradice el hecho de que $M$ es de $n-1$ dimensional.