¿Cómo hallar la matriz a partir de la solución general?

Question

Encuentre un $2 \times 3$ (dos ecuaciones con tres incógnitas) tal que su solución general tiene la forma $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}+s\begin {pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\ s \in \Bbb R.$

Intenté pensar que $s\begin {pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ es la solución al núcleo de la matriz preguntada, y la matriz probada $\begin {pmatrix}1&-1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ pero también incluye $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$ ¡en su núcleo!

Answer 1

Sea $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\tag{1}$$ sea el sistema en forma matricial, donde $A$ es la matriz de coeficientes del sistema preguntado en forma matricial. Donde $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$

Observe que $\ker(A)=\{k\mathbf{v}|k\in\mathbb{R}\}$ donde $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ You can take any matrix $A$ as above, for instance $$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&-2\end{pmatrix}$$ desde $\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ is a particular solution we have $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ . De ahí que el sistema $$\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$ satisface el problema.

Answer 2

Se pueden traducir los dos primeros componentes de $u= (x,y,z)^T= (s+1, 2s+1, s)^T$ en el siguiente sistema $Au=b$ el tercer componente queda libre y actúa como $z=s$ : $$ x = s + 1 = z + 1 \iff x - z = 1 \\ y = 2s + 1 = 2 z + 1 \iff y - 2 z = 1 \\ $$ O escrito como matriz aumentada $$ (A\mid b) = \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) $$