¿Por qué no se puede resolver exactamente la ecuación de Schrödinger para átomos de varios electrones? ¿Existe alguna solución incluso en principio?

Question

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Es bien sabido que la ecuación de Schrödinger puede resolverse exactamente sólo para los sistemas más simples, como los llamados modelos de juguete (partículas en una caja, etc.) y los átomos de hidrógeno; y no para relativamente sistemas complejos, como el átomo de Helio y otros sistemas multielectrónicos.

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Llevo mucho tiempo intentando llegar a la razón de esto, y parece que tiene algo que ver con una o más de estas -

1. Efectos de correlación entre los electrones como en los electrones que intentan ocupar posiciones opuestas entre sí con el núcleo entre ellos.
2. Algún tipo de corelación cuántica debido al enredo.
3. Aparición de "términos cruzados" inseparables en la expresión del hamiltoniano.
4. Como en el punto 3, no podemos modelar el hecho de que no conocemos (a partir de nuestra teoría) la energía total del sistema (mientras estamos haciendo el modelo), y las energías cinética y potencial dependen una de la otra, por lo que no podemos encontrar ninguna de ellas.

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Algunas referencias

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(mecánica_cuántica)#Muchas_partículas

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos. Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar la energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas del sistema ... Para N partículas interactuantes, es decir, partículas que interactúan entre sí y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencial V no es simplemente una suma de los potenciales separados (y ciertamente no un producto, ya que esto es dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial sólo puede escribirse como arriba: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula.

2. https://chem.libretexts.org/Textbook_Maps/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Book%3A_Quantum_States_of_Atoms_and_Molecules_(Zielinksi_et_al.)/09._Los_estados_electrónicos_de_los_átomos_de_electrones_múltiples/9.1%3A_La_ecuación_de_Schrödinger_para_átomos_de_electrones_múltiples

Desgraciadamente, los términos de repulsión de Coulomb hacen imposible encontrar una solución exacta a la ecuación de Schrödinger para átomos y moléculas de muchos electrones aunque sólo haya dos electrones. Las aproximaciones más básicas a las soluciones exactas implican escribir una función de onda multielectrónica como un simple producto de funciones de onda de un solo electrón, y obtener la energía del átomo en el estado descrito por esa función de onda como la suma de las energías de los componentes de un solo electrón.

3. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_quantum-mechanical_systems_with_analytical_solutions

Muy a menudo, sólo pueden encontrarse soluciones numéricas a la ecuación de Schrödinger para un sistema físico dado y su energía potencial asociada. Sin embargo, existe un subconjunto de sistemas físicos para los que se puede hallar la forma de las funciones propias y sus energías asociadas.

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Many-body_problem

El problema de muchos cuerpos es un nombre general para una amplia categoría de problemas físicos relacionados con las propiedades de sistemas microscópicos formados por un gran número de partículas que interactúan ... En un sistema cuántico de este tipo, las interacciones repetidas entre partículas crean correlaciones cuánticas, o entrelazamiento. Como consecuencia, la función de onda del sistema es un objeto complicado que contiene una gran cantidad de información, lo que suele hacer que los cálculos exactos o analíticos sean poco prácticos o incluso imposibles.

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Llevo años intentando averiguar estas cosas, pero a pesar de toda la información disponible, sigo teniendo una pregunta para la que no encuentro respuesta

¿Cuál es la razón fundamental de nuestra incapacidad para resolver la ecuación de Schrödinger para átomos multielectrónicos? ¿Es realmente imposible resolverla (alguna prueba?) o simplemente no se nos dan bien las matemáticas? Suponiendo que siguiéramos intentando resolverla, ¿podría alguien aclarar si, en principio, se podría encontrar una solución?

EDITAR -

Para aclarar mi pregunta, las respuestas existentes a preguntas más antiguas ya indican que el problema tiene un muy alta complejidad computacional, por lo que encontrar una solución es extremadamente improbable. Mi pregunta es diferente. Ya sé por los recursos enlazados (y otros) que la ecuación es efectivamente irresoluble para nosotros.

Lo que pido es una aclaración de si tenemos alguna razón para creer en la existencia de una solución en cualquier formulario y las razones de la misma?

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Notas-

1. Sé que hay otros problemas similares, como el problema de los 3 cuerpos en mecánica clásica, y sería estupendo que la respuesta también los tratara.

2. Las razones que he enumerado no son exhaustivas en ningún caso, son sólo las que me han venido a la cabeza como algunas de las variaciones de "Las matemáticas son demasiado difíciles" que he visto a lo largo de los años.

Answer 1

Estoy seguro de que su pregunta se refiere más a las matemáticas que a la física.

Versión TL;DR: Cualquiera que considere intentar una solución analítica rápidamente ve que como mucho puede esperar una integral de una serie de potencias no cerrada y no lo intenta.

El modelo clásico del átomo de Helio tampoco tiene una solución cerrada. Es una instancia del problema de los tres cuerpos . (Esto no es del todo cierto: la configuración de energía mínima puede resolverse en física clásica).

Las soluciones clásicas de los orbitales de los átomos existen ocasionalmente como series de potencias, pero las matemáticas funcionan de tal manera que los orbitales solubles tienen probabilidad cero; sin embargo, la interferencia de la forma de onda cuántica puede permitir que sean los elegidos de todos modos. El camino de ataque para obtener soluciones de forma cerrada para los orbitales sería aplicar la ecuación de Schrödinger a la forma clásica de todos los niveles de energía. (La mayoría de las órbitas no se repiten, por lo que aquí hay que utilizar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo).

Sin embargo, vas a tener que integrar la forma de onda para obtener una función de probabilidad, y estás partiendo de algo que ya es una serie de potencias. Teorema matemático: si la función no existe en forma cerrada, tampoco su integral.

Estoy seguro de que alguien me dirá que no se puede utilizar la mecánica orbital para manejar los electrones alrededor del átomo. De hecho se puede, pero hay una sorpresa. Hay cuatro órbitas en cualquier plano para cualquier nivel de energía, excepto para el más bajo, para el que sólo hay dos. Esto se debe a que la energía de la velocidad orbital llega a ser comparable a la energía del pozo de energía en la escala atómica. El polo central está en +INF en lugar de -INF para un objeto en órbita. Normalmente no podemos observar este efecto.

No me he molestado en comprobar si el número de grados de libertad que permiten las órbitas de resonancia en tres dimensiones coincide con el número de grados de libertad de las soluciones cuánticas para el átomo. No se me ocurre ni una sola razón para preocuparme.

Answer 2

El mayor problema de muchos sistemas de electrones es que hay que lidiar con la correlación. Esto significa que el comportamiento de un electrón no puede captarse con un único orbital. En su lugar, muchos de los llamados determinantes de Slater conforman la función de onda.

Sin embargo, los químicos cuánticos han ideado métodos para resolver las ecuaciones de Schrödinger y Dirac con gran precisión para átomos y moléculas. Las soluciones no están en forma cerrada, sino que son expansiones de determinantes de Slater construidas a partir de funciones base gaussianas.

Sólo se dispone de soluciones exactas para los sistemas más sencillos. En el caso de los átomos, la razón es la correlación e-e y también los efectos radiativos, que requieren QFT. Para sistemas más complejos se añade la complejidad del movimiento nuclear.