Pruebas $\sum_{n=1}^\infty \frac{\xi ^n}{n}$ no es uniformemente convergente

Question

Pruebas $\sum_{n=1}^\infty \frac{\xi ^n}{n}$ no es uniformemente convergente para $\xi \in (0,1)$ .

Estoy intentando hacer lo anterior. He intentado demostrar que no es una sucesión de Cauchy considerando $||\frac{\xi ^n}{n} ||_{\sup}$ pero fue en vano. Cualquier ayuda por favor

Answer 1

Sugerencia: Mostrar para $z$ cerca de $1$ que la convergencia de la serie se vuelve arbitrariamente lenta. Más formalmente, demuestre la negación de la convergencia uniforme: Existe $\epsilon > 0$ tal que para todos los enteros positivos $N$ existe $z \in (0,1)$ y $n \geq N$ tal que $|f_n(z) - f(z)| \geq \epsilon$ . Aquí $f_n$ es el $n$ suma parcial de su serie, y $f$ es la función límite. Debe quedar claro que esto es cierto porque se puede elegir $z$ ser lo que quieras, arbitrariamente cerca de $1$ .

Answer 2

La serie no converge uniformemente si se puede demostrar que hay alguna $\epsilon_0 > 0$ tal que para cada $N \in \mathbb{N}$ ,

$$\sup_{\xi \in (0,1)} \sum_{n=N}^\infty\frac{\xi^n}{n}\geqslant \epsilon_0.$$

Observe que

$$\sup_{\xi \in (0,1)} \sum_{n=N}^\infty\frac{\xi^n}{n}\geqslant \sup_{\xi \in (0,1)} \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{\xi^n}{n}\geqslant \sup_{\xi \in (0,1)}N\frac{\xi^{N+1}}{2N} = \frac{1}{2}.$$

Por lo tanto, utilizando $\epsilon_0 = 1/2$ confirma la negación y la serie no es uniformemente convergente en $(0,1)$ .

Answer 3

Sea $f_n$ sea el $n$ y consideremos $|f_{2n} - f_n|_1$ . Esto es igual a

$$H_{2n} - H_n$$

donde $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k $ es el $n$ ª serie armónica suma parcial. Como $n \to \infty,$ tenemos $H_n \to \ln n + \lambda$ para alguna constante $\lambda$ independiente de $n$ (busca la constante de Euler si no lo has visto antes). Entonces

$$H_{2n} - H_n \simeq \ln 2n - \ln n = \ln 2$$ .