Duda sobre la aplicación de la Ley de Gauss

Question

Una carga lineal uniforme infinitamente larga (carga por unidad de longitud = $\lambda$ ) es paralela a la $y$ -en el eje $y$ - $z$ avión en $z=\frac{\sqrt{3}a}{2}$ . Sea $ABCD$ sea un rectángulo en el $x$ - $y$ plano con origen como centro y con lados paralelos a la $x$ y $y$ ejes (Longitud del lado a lo largo de $y$ -eje = $L$ y Longitud de lado a lo largo de $x$ -eje = $a$ ). Hallar la magnitud del flujo total a través de $ABCD$ .

Así que lo que he intentado (y visto en internet) es hacer un prisma hexagonal regular alrededor de la carga de línea con $ABCD$ como uno de los lados rectangulares y luego aplicar la Ley de Gauss. Las respuestas en línea dicen simplemente que el flujo es $\frac{\lambda L}{6\epsilon}$ como el flujo total $\frac{\lambda L}{\epsilon}$ está espaciada uniformemente entre $6$ lados rectangulares. Sin embargo, no tenemos en cuenta el flujo a través de los planos hexagonales. ¿Cómo se explica esto? Agradecería cualquier aclaración.

Aquí,+then%0Athe+value+of+n+is) es un enlace a una de esas respuestas en línea.

Answer 1

Al tomar la línea de carga como infinita, hemos introducido el hecho de que la traslación a lo largo del eje y es invariante; si medimos el campo alrededor del alambre en algún punto, y luego nos movemos a lo largo del alambre, esperamos ver el mismo campo ya que nuestro sistema sigue teniendo el mismo aspecto, es decir, no tenemos forma de medir nuestra "coordenada y" a lo largo del alambre. Ahora bien, por simetría, si nos damos la vuelta, el cable sigue teniendo el mismo aspecto; entonces esperamos que el campo sea idéntico. Supongamos ahora que introducimos alguna dependencia y en el campo, de modo que apunte en una dirección. Esto rompe la simetría, ya que ahora podemos definir una dirección y "positiva". Así que necesitamos que el campo sea puramente radial, y por lo tanto ningún componente del campo apunta perpendicular al plano hexagonal. Por lo tanto, el flujo a través de estos planos es $0$ .

Answer 2

Respuesta corta: No hay flujo a través de las caras hexagonales.

Respuesta larga: Comienza con el hecho de que en cualquier punto del espacio, el campo eléctrico de la carga lineal (LC) se dirige radialmente hacia fuera del hilo (en dirección perpendicular a la longitud de la LC) Para ver por qué, podemos considerar un argumento simétrico:-

https://i.stack.imgur.com/UotfW.png

Como se puede ver, para cada punto A en la carga lineal, existe un punto B en la carga lineal tal que los campos en P debidos a las dos cargas puntuales A y B tienen componentes verticales iguales y opuestas. Por lo tanto, los campos resultantes de todos estos pares de puntos es puramente horizontal. (Aquí, horizontal y vertical son con respecto a la figura).

Como las caras hexagonales también son perpendiculares al alambre, el vector área de las caras hexagonales es perpendicular al campo eléctrico. Por lo tanto,

$\phi = ES\cos\theta = 0$