Cuántos dígitos del googol-th prime podemos calcular (o fueron calculados)?

Question

Aquí, un límite inferior y superior para el $n$-th principal está dado.

La aplicación de los límites fijados

$$n(\ln(n\cdot\ln(n))-1)<p_n<n\cdot\ln(n\cdot\ln(n))$$

y la aproximación

$$p_n\approx n(\ln(n\cdot\ln(n))-1)+\frac{n(\ln(\ln(n))-2)}{\ln(n)}$$

tenemos que $p_{10^{100}}$ está en algún lugar entre el $2.346977\cdot 10^{102}$ $2.35698\cdot 10^{102}$ y aproximadamente el $2.3471\cdot 10^{102}$ , por lo que ha $103$ dígitos.

Cuántos dígitos podemos determinar de la googol-th prime con los métodos conocidos ?

Es probable que este cálculo fue hecho ya. En este caso, una referencia sería bueno. (Por favor, presente también el resultado, no sólo el vínculo).

Answer 1

A partir de este trabajo tenemos la desigualdad

$\frac{x}{log(x)}(1 + \frac{1}{log(x)} + \frac{2}{log^2(x)}) < \pi(x) < \frac{x}{log(x)}(1 + \frac{1}{log(x)} + \frac{2.334}{log^2(x)})$ $x \ge 2 953 652 287$

lo que conduce a $2.347112 \cdot 10^{102} < p_{10^{100}} < 2.347127 \cdot 10^{102}$.

EDIT: acabo de notar que el mismo documento da

$p_k < k (\log(k) + \log(\log(k)) - 1 + \frac{\log(\log(k))-2}{\log k})$ $k \ge 688383$

y

$p_k > k (\log(k) + \log(\log(k)) - 1 + \frac{\log(\log(k))-2.1}{\log k})$ $k \ge 3$

que los rendimientos de $2.3471221 \cdot 10^{102} < p_{10^{100}} < 2.3471265 \cdot 10^{102}$, por lo que seis dígitos se determina.

EDIT 2: Gracias a DanaJ, veo que este 2013 de papel por Axler da los siguientes límites:

$p_k < k (\log(k) + \log(\log(k)) - 1 + \frac{\log(\log(k))-2}{\log k}) - \frac{(\log(\log(k)))^2 - 6 \log(\log(k)) + 11.847}{(\log (k))^2}$ $k \ge 2$

$p_k > k (\log(k) + \log(\log(k)) - 1 + \frac{\log(\log(k))-2}{\log k}) - \frac{(\log(\log(k)))^2 - 6 \log(\log(k)) + 10.273}{(\log (k))^2}$ $k \ge 8009824$

que los rendimientos de $2.347125652 \cdot 10^{102} < p_{10^{100}} < 2.347125801 \cdot 10^{102}$, la determinación de los primeros siete dígitos.

Tenga en cuenta que, mientras que este papel le da el mejor asintótica obligado

$|\pi(x) - li(x)| < 0.2795\frac{x}{(\log (x))^{3/4}}\exp(-\sqrt{\frac{\log (x)}{6.455}})$ $x \ge 229$

sólo determina los tres primeros dígitos de $p_{10^{100}}$.

Por supuesto, si asumimos la Hipótesis de Riemann, podemos conseguir muchas más dígitos. El obligado

$|\pi(x) - li(x)| < \frac{\sqrt{x} \log(x)}{8\pi}$ $x \ge 2657$

le dará

$$2.347125735865764178036135909936302071965422425975\cdot10^{102}<p_{10^{100}}<2.347125735865764178036135909936302071965422425983*10^{102}$$

por lo $47$ dígitos de $p_{10^{100}}$ son determinados.