¿Cómo evalúo la suma: $${n \choose 1} + 3{n \choose 3} +5{n \choose 5} + 7{n \choose 7} ...$$ de forma cerrada? No sé muy bien cómo empezar y enfocar esta pregunta. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
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A partir de \begin{align} (1+t)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} t^{k} \end{align} se observa que \begin{align} \frac{1}{2} \left[ (1+t)^{n} - (1-t)^{n} \right] = \sum_{k=1}^{[(n+1)/2]} \binom{n}{2k-1} t^{2k-1}. \end{align} Diferenciando ahora ambos lados se llega a \begin{align} \sum_{k=1}^{[(n+1)/2]} (2k-1) \binom{n}{2k-1} t^{2k-2} = \frac{n}{2} \left[ (1+t)^{n-1} + (1-t)^{n-1} \right] \end{align} y al fijar $t=1$ el resultado deseado es \begin{align} \sum_{k=1}^{[(n+1)/2]} (2k-1) \binom{n}{2k-1} = 2^{n-2} \ n. \end{align}
Oli
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John Machacek
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He aquí una prueba combinatoria porque me gustan las pruebas combinatorias.
Tenga en cuenta que $\sum_{k \geq 0} \binom{n}{2k} = 2^{n-1}$ . Una forma de demostrar este resultado es con el teorema del binomio. Utilizaremos este hecho.
Ahora $\sum_{k \geq 0} (2k+1)\binom{n}{2k+1}$ puede interpretarse como la elección de un subconjunto de tamaño impar de un conjunto con $n$ elementos en uno de $\binom{n}{2k+1}$ formas y, a continuación, elegir un elemento distinguido de dicho subconjunto en una de $2k+1$ maneras.
Otra forma de hacer la misma elección sería elegir primero el elemento distinguido en uno de $n$ formas y, a continuación, elegir los elementos restantes de dicho subconjunto en una de $\binom{n-1}{2k}$ maneras. Así tenemos
$$\sum_{k \geq 0} (2k+1)\binom{n}{2k+1} = n \sum_{k\geq 0} \binom{n-1}{2k} = n 2^{n-2}.$$
Observa que esta solución utiliza esencialmente la pista que Did dio en los comentarios. La identidad Did proporciona puede ser demostrado combinatorialmente como lo hemos hecho o algebraicamente.
