Medida invariante de Euler-Maruyama Discretización de una difusión Ito

Question

Sea $(X_t)_{t \geq 0}$ sea un proceso de difusión con una dinámica gobernada por la ecuación diferencial estocástica \begin{equation} dX_t = b(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t, ~~ X_0 = x_0, \end{equation} donde $b,\sigma$ son Lipschitz y $(W_t)_{t \geq 0}$ es un estándar $d$ -proceso de Wiener. Supongamos que $(X_t)_{t \geq 0}$ posee una única medida de probabilidad invariante $\mu(\cdot)$ .

La aproximación Euler-Maruayama de esta SDE con tamaño de paso $h$ es una cadena de Markov definida recursivamente como $Y_0 = x_0$ y para $n \in \mathbb{Z}^+$ \begin{equation} Y_{(n+1)h}|Y_{nh} = Y_{nh} + b(Y_{nh})h + \sqrt{h}\sigma(Y_{nh})\varepsilon, ~~ \varepsilon \sim \mathcal{N}(0,I_{d \times d}). \end{equation}

Puedo ver que bajo ciertas condiciones $\{Y_i\}_{i \in \mathbb{Z}^+}$ también poseerá una medida de probabilidad invariante única, $\mu^h(\cdot)$ . He visto ciertos resultados que discuten cómo las propiedades de ergodicidad de $(X_t)_{t \geq 0}$ et $\{Y_i\}_{i \in \mathbb{Z}^+}$ pueden diferir (por ejemplo, escenarios en los que el primero puede ser exponencialmente ergódico pero el segundo transitorio, véase: http://projecteuclid.org/euclid.bj/1178291835 ).

Lo que no he podido encontrar son resultados que hablen de cómo $\mu^h(\cdot)$ et $\mu(\cdot)$ difieren. ¿Podemos hacer alguna afirmación sobre lo "cercanas" que están las dos medidas, en variación total \begin{equation} \| \mu^h(\cdot) - \mu(\cdot) \|_{TV} \end{equation} o cualquier otra distancia adecuada. ¿Y podemos decir algo sobre la distancia \begin{equation} \|\mathbb{E}_{\mu^h}f - \mathbb{E}_{\mu}f\| \end{equation} para una clase adecuada de funciones $f$ suponiendo que ambos procesos están definidos en el mismo espacio que tiene norma $\|\cdot\|$ ? He buscado un poco por internet, lo más cerca que he llegado es aquí http://www.newton.ac.uk/preprints/NI03065.pdf donde se alude al resultado, lo que me hace pensar que puede ser bastante conocido. Así que si alguien puede indicarme la dirección correcta o explicarme por qué es obvio, sería estupendo, ¡gracias!

También preguntado en Math overflow aquí: https://mathoverflow.net/questions/163443/invariant-measure-of-euler-maruyama-discretisation-of-an-ito-diffusion/163489?noredirect=1#163489

Answer 1

Hay varios artículos buenos sobre el estudio de la convergencia y las distribuciones estacionarias de las discretizaciones.

Mattingly et. al. (2002) demuestran una condición de Lyapunov y de minorización necesaria para la ergodicidad geométrica de las cadenas de Markov, y también proporcionan un resultado (poco preciso) sobre la proximidad de las distribuciones estacionarias. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414902001503

Mattingly et. al. (2010) estudian esencialmente una técnica similar al método de Stein, en la que los autores proporcionan un límite de error débil para la distribución estacionaria del método de Euler. https://arxiv.org/abs/0908.4450

Debussche y Faou (2011) construyeron una distribución estacionaria aproximada para el método de Euler utilizando el análisis de error hacia atrás débil, si se desea demostrar propiedades sobre el método de Euler. https://arxiv.org/abs/1105.0489

Los dos últimos trabajos estudiaban SDEs en un toroide para evitar detalles técnicos que $\mathbb{R}^d$ pero estos resultados se han ampliado en trabajos posteriores.