Solicitud de referencia: Tiempos de golpe en cadenas de nacimiento y muerte

Question

Estoy buscando una fórmula general para los tiempos de golpe en una cadena estándar de nacimiento y muerte. Estoy absolutamente convencido de haber visto en el pasado un artículo con dicha fórmula, pero ahora no puedo encontrarlo. La fórmula es más o menos así:

$$ E_{i-1}(\tau_i) = \prod_{j < i} \frac{q_{j,j+1} ... }{...}. $$

He revisado todos los documentos sobre el proceso nacimiento-muerte que parecen relevantes. Entre ellos están los siguientes.

• Ding, Lubetzky, Peres; Límite de variación total en cadenas de nacimiento y muerte
• Rellenar; La distribución del tiempo de paso para una cadena de nacimiento y muerte
• Smith; El Fenómeno de Corte para Cadenas Aleatorias de Nacimiento y Muerte
• Zhang; Momentos de los primeros tiempos de golpe para procesos de nacimiento-muerte en árboles

Incluso he intentado utilizar la fórmula para mi propia investigación en el pasado. Por mucho que lo intento, ahora no la encuentro.

Si alguien conoce la referencia, ¡se lo agradecería mucho!

Answer 1

Utilicemos el cálculo $E_0(\tau_1)$ la expresión general se deduce por desplazamiento. Para simplificar, asumo que $|X_{i+1}-X_i|=0$ es decir, que la probabilidad de no moverse desaparece (también se puede tratar el caso general siguiendo básicamente el método descrito a continuación). Sea $\omega_i=P(X_1=i+1|X_0=i)$ .

Escribir, a partir de $X_0=0$ , $$\tau_1=1_{X_1=1}+1_{X_1=-1}(1+ \tau_0'+\tau_1')$$ donde $\tau_0',\tau_1'$ son de la misma ley que $\tau_0$ a partir de $-1$ et $\tau_1$ a partir de $0$ .

Sea $\omega_i$ sea la probabilidad de saltar justo a $i$ . Tomando las expectativas y reordenando se obtiene $$ E_0(\tau_1)=1/\omega_0+\rho_0 E_{-1}(\tau_0),$$ donde $\rho_i=(1-\omega_i)/\omega_i$ .

Ahora puedes iterar: $$E_0(\tau_1)=1/\omega_0+\rho_0/\omega_{-1}+\rho_0\rho_{-1} E_{-2}(\tau_{-1})$$

Así que $$ E_0(\tau_1)=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{\omega_{-i}} \prod_{j=0}^{i-1} \rho_{-j}$$ (Si el lado derecho diverge, entonces la expectativa es efectivamente infinita).

Estas fórmulas aparecen en el estudio del paseo aleatorio (unidimensional) en un entorno aleatorio. Busca mis notas de clase (Springer LNM) para una introducción. Esta es la ecuación (2.1.14).

Answer 2

Hay un análisis de las cadenas de nacimiento y muerte en [1]; véase la página 27 para las fórmulas de tiempo de impacto. Véase también [2], [3], [4].

[1] Cadenas de Markov y tiempos de mezcla: Segunda edición, de Levin y Peres, con aportaciones de Wilmer, https://bookstore.ams.org/mbk-107 https://darkwing.uoregon.edu/~dlevin/MARKOV/mcmt2e.pdf

[2] Chen, Mu-Fa. "Velocidad de estabilidad para procesos de nacimiento-muerte". Fronteras de las Matemáticas en China 5, no. 3 (2010): 379-515.

[3] Fill, James Allen. "Sobre tiempos de acierto y tiempos estacionarios fuertes más rápidos para cadenas sin saltos y más generales". Journal of Theoretical Probability 22, no. 3 (2009): 587.

[4] Palacios, J. y Tetali, P., 1996. A note on expected hitting times for birth and death chains. Statistics & Probability Letters, 30(2), pp.119-125.