Veamos su afirmación concreta: que si $\dim V$ es $2$ entonces son $2$ vectores en la base de $V$ (llámalos $v_{1}, v_{2}$ ) y las imágenes $T(v_{1}), T(v_{2})$ forman una base para la imagen de $T$ . Es una sugerencia que suena perfectamente razonable; por desgracia, ¡también es totalmente falsa!
He aquí un ejemplo explícito. Consideremos la transformación lineal $T \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{1}$ dada por la proyección sobre la primera coordenada, es decir $T((a, b)) = a$ para todos $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ . Se trata de una transformación lineal perfectamente válida, como puedes comprobar tú mismo. Las imágenes de los vectores base estándar $(1, 0), (0, 1)$ vienen dadas por $T((1, 0)) = 1$ et $T((0, 1)) = 0$ . Pero se trata claramente de elementos linealmente dependientes de la imagen de $T$ ya que cualquier conjunto de vectores que incluya el vector cero es linealmente dependiente.
Podría parecer que el ejemplo anterior dependía de la base, pero no es así. No es difícil demostrar que la transformación lineal $T$ definida anteriormente es suryectiva, es decir, la imagen de $T$ es todo $\mathbb{R}^{1}$ . La dimensión de $\mathbb{R}^{1}$ (como $\mathbb{R}$ espacio vectorial, por supuesto) es $1$ por lo que dos vectores cualesquiera en $\mathbb{R}^{1}$ son linealmente dependientes. Por lo tanto, el ejemplo anterior habría funcionado para dos vectores base cualesquiera para $\mathbb{R}^{1}$ . El problema es que es perfectamente razonable tener transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión superior a espacios vectoriales de dimensión inferior sobre el mismo campo. Si este es el caso, entonces la imagen de $T$ tiene una dimensión limitada por la dimensión del espacio objetivo, por lo que el rango de $T$ no puede ser tan grande como la dimensión de $V$ .
Esto se realiza concretamente en la forma de la llamada "nulidad", o tener un núcleo no trivial. En el ejemplo anterior, cualquier elemento de la forma $(0, a) \in \mathbb{R}^{2}$ se envía a $0$ por $T$ . Te animo a que juegues con ejemplos de transformaciones lineales para entender mejor por qué la nulidad de rango funciona como lo hace, y para ver por qué tu afirmación específica es falsa.
Permítanme también probar la afirmación de mathers101 en los comentarios. Veamos $T \colon V \to W$ sea una transformación lineal entre espacios vectoriales con campo escalar $F$ (si sólo has trabajado con espacios vectoriales reales o complejos, simplemente toma $F = \mathbb{R}$ o $F = \mathbb{C}$ ), y supongamos que para $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ las imágenes $T(v_{1}), \ldots, T(v_{n})$ son linealmente independientes en $W$ . Entonces afirmamos que $v_{1}, \ldots, v_{n}$ son elementos linealmente independientes de $V$ . Supongamos que no, es decir, que existen $a_{1}, \ldots, a_{n} \in F$ no todos cero tal que $a_{1}v_{1} + \cdots + a_{n}v_{n} = 0$ . Entonces
$$0 = T(0) = T(a_{1}v_{1} + \cdots + a_{n}v_{n}) = a_{1}T(v_{1})+\cdots+a_{n}T(v_{n})$$
contradiciendo la independencia lineal de $T(v_{1}), \ldots, T(v_{n})$ .
