Pregunta intrigante de todos los días, pero ¿puede tener una respuesta matemática?

Question

Supongamos que tenemos un grupo de cinco equipos jugando en una competencia de fútbol. Como sabes, la victoria se recompensa con tres puntos, un empate con un punto y una derrota con cero puntos. Los partidos son en el formato de ida y vuelta. ¿Podemos tener una respuesta de combinatoria posible a la cantidad de puntos necesarios para asegurar un tercer lugar? No me importa la rigurosidad de la prueba, hey es fútbol, puede pasar cualquier cosa, pero realmente quería preguntarle a alguien a quien le gustan estos problemas aparentemente relacionados con las matemáticas. De antemano gracias a todos los que se tomen el tiempo para leer todo esto.

Answer 1

Si mi programa es correcto, con $14$ o $15$ puntos un equipo tiene garantizado al menos un empate en el tercer lugar. Por ejemplo, si los resultados fueran los siguientes (la entrada en la fila i, columna j son los puntos obtenidos por el equipo i en sus partidos contra el equipo j), cuatro equipos estarían empatados con $14$ puntos. $$ \pmatrix{ - & 0 & 0 & 0 & 0\cr 6 & - & 6 & 2 & 0\cr 6 & 0 & - & 6 & 2\cr 6 & 2 & 0 & - & 6\cr 6 & 6 & 2 & 0 & -\cr}$$

Cambia los $2$ por $3$ (es decir, una victoria y una derrota en lugar de dos empates) para obtener un caso donde cuatro equipos están empatados con $15$ puntos.

Con $13$ puntos es posible terminar en cuarto lugar. Por ejemplo, esto sucedería en el resultado anterior si se cambiara uno de los empates del equipo 2 por una derrota.

Con $16$ puntos un equipo tiene garantizado al menos un tercer lugar claro.