Dada una acción de grupo sobre un simplex, ¿puedo encontrar siempre una región fundamental que sea un simplex?

Question

Sea $\Delta\subset\Bbb R^n$ sea un simplex con $n+1$ vértices. Sea $G\subset\mathrm{GL}(\Bbb R^n)$ sea un grupo finito de simetrías lineales de $\Delta$ es decir, las transformaciones lineales que fijan el simplex por conjuntos. Conjunto $m:=|G|$ .

Pregunta: ¿Existe una subdivisión simplicial $\Delta=\Delta_1\cup\cdots\cup\Delta_m$ , de modo que $G$ actúa regularmente (es decir, transitiva y libremente) sobre el conjunto de símplices $\{\Delta_i:1\le i\le m\}$ ?

En otras palabras, quiero una descomposición de $\Delta$ en regiones fundamentales con respecto a la acción del grupo, donde cada región es un simplex. En subdivisión simplicial Me refiero a un embaldosado de $\Delta$ con símplices, dos cualesquiera de los cuales son disjuntos o se intersecan en una cara común (aunque su intersección con el límite de $\Delta$ podría no ser una cara de $\Delta$ ).

Estas subdivisiones existen claramente cuando $n=1$ y la imagen siguiente muestra que también existen para $n=2$ . Los grupos son (de izquierda a derecha)

$$G\cong\text{$\{$ $ \Bbb Z_2 $,$\;$ the cyclic group $ \Bbb Z_3 $,$\;$ the dihedral group $ D_3 $}\}.$$

(actualización: también existen subdivisiones simpliciales para $n=3$ (véase la nota II)

En lugar de pensar en $G$ como un grupo lineal, podemos interpretarlo como un grupo de permutación $G\subseteq\mathbf S_{n+1}$ un subgrupo del grupo simétrico $\mathbf S_{n+1}$ permutando los vértices $\{1,...,n+1\}$ de $\Delta$ . El grupo simétrico completo induce el subdivisión baricéntrica (como se ve en la imagen de la derecha). Cabe preguntarse entonces si siempre es posible combinar algunos de los símplices de la subdivisión baricéntrica para formar un símplex que sea una región fundamental para $G$ .

También me pregunto hasta qué punto tal subdivisión (si existe) es única (actualización: no lo son, véase la Nota II más abajo).

---

Nota I

En los comentarios describo cómo construir una descomposición para cualquier grupo de orden 2.

---

Nota II

Encontré dominios fundamentales simpliciales para todos los subgrupos de $\mathbf S_4$ (subgrupos tomados de aquí ).

$$\begin{array}{r|c|l} \text{group} & \text{size} & \text{fundamental simplex} \\ \hline \mathbf S_4 & 24 & \{1,2,3,4\},\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\} \\ \hline \mathbf A_4 & 12 & \{1,2,3,4\},\{1,2,3\},\{1\},\{2\} \\ \hline \langle(1,2,3,4),(1,3)\rangle & 8 & \{1,2,3,4\},\{1,3\},\{1\},\{2\} \\[-0.4ex] & & \{1,2\},\{2,4\},\{1,3\},\{1\} \\ \hline \langle(1 2 3),(1 2)\rangle & 6 & \{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{4\} \\ \hline \langle(1,2,3,4)\rangle & 4 & \color{blue}{\{1,2,3,4\},\{1\},\{2\},\{3\}} \\[-0.4ex] & & \color{orange}{\{1,3\},\{2,4\},\{1\},\{2\}} \\\hline \langle(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\rangle & 4 & \color{blue}{\{1,2,3,4\},\{1\},\{2\},\{3\}} \\ \hline \langle(1,3),(2,4)\rangle & 4 & \color{orange}{\{1,3\},\{2,4\},\{1\},\{2\}} \\ \hline \langle(1,2,3)\rangle & 3 & \{1,2,3\},\{2\},\{3\},\{4\} \\ \hline \langle(1,2)(3,4)\rangle & 2 & \color{red}{\{1,2\},\{2\},\{3\},\{4\}} \\ \hline \langle(1,2)\rangle & 2 & \color{red}{\{1,2\},\{2\},\{3\},\{4\}} \\ \hline \langle\varnothing\rangle & 1 & \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} \end{array}$$

Los grupos se dan como grupos de permutación en el conjunto de vértices $\{1,2,3,4\}$ . Cada símplex fundamental está dado en términos de sus vértices, donde un subconjunto $S\subseteq\{1,2,3,4\}$ denota el vértice

$$\frac1{|S|}\sum_{i\in S} v_i.$$

Los símplex resaltados en el mismo color indican que diferentes grupos tienen el mismo símplex fundamental. No pretendo que la lista de subdivisiones sea completa.

Algunas observaciones:

• Hay grupos (por ejemplo $\langle(1,2,3,4)\rangle$ ) que tienen dos subdivisiones geométricamente diferentes. Así que las subdivisiones no siempre son únicas.
• Una única subdivisión puede servir para varios grupos (véanse los colores resaltados).
• El segundo simple fundamental enumerado para el grupo de 8 elementos es no ¡una unión de símplices de la subdivisión baricéntrica! Así que puede existir otra subdivisión. Pero esta subdivisión sigue utilizando las mismas coordenadas de vértices que la subdivisión baricéntrica.
• Observación curiosa (explicada parcialmente por David en los comentarios): el tamaño de cada grupo es igual al producto de las cardinalidades de los conjuntos enumerados en la columna de la derecha. La razón parece ser que estas cardinalidades determinan el volumen del símplex fundamental, que debe ser $|G|^{-1}\cdot\mathrm{vol}(\Delta)$ .

Answer 1

La respuesta es sí.

Notación: Sea $e_1$ , $e_2$ , ..., $e_n$ son los vértices del simplex. Sea $[n] = \{ 1,2,3, \ldots, n \}$ . Para $S$ un subconjunto no vacío de $[n]$ , dejemos que $p(S) = \tfrac{1}{|S|} \sum_{i \in S} e_i$ .

Sea $G$ sea un subgrupo de $S_n$ . Sea $G_k$ sea el subgrupo de $G$ estabilizando (puntualmente) cada una de $1$ , $2$ , ..., $k$ . Sea $A_k$ sea la órbita de $k$ bajo la acción de $G_{k-1}$ . Nuestro dominio fundamental será el casco convexo de $p(A_1)$ , $p(A_2)$ , ..., $p(A_n)$ .

Ejemplo Tomemos el tercer grupo de la tabla de OP, el grupo diedro de orden $8$ . Entonces $A_1 = \{ 1,2,3,4 \}$ , $A_2 = \{ 2, 4 \}$ , $A_3 = \{ 3 \}$ , $A_4 = \{ 4 \}$ que, hasta el reetiquetado de coordenadas, es la primera solución de la OP para este caso.

Definir una relación $\preceq$ en $[n]$ por $i \preceq j$ si $j \in A_i$ . En otras palabras, $i \preceq j$ si hay $g \in G$ con $g(1)=1$ , $g(2)=2$ , ..., $g(i-1)=i-1$ y $g(i) = j$ .

Lema $\preceq$ es un orden parcial.

Prueba Es evidente que $i \in A_i$ . Si $j \in A_i$ entonces $i \leq j$ por lo que es evidente que $\preceq$ es antisimétrica. Queda por comprobar la transitividad.

Supongamos que $j \in A_i$ y $k \in A_j$ . Tenga en cuenta que $i \leq j$ . La condición $k \in A_j$ significa que $k \in G_{j-1} \cdot j \subseteq G_{i-1} \cdot j$ . Pero la condición de que $j \in A_i$ significa que $G_{i-1} \cdot j = G_{i-1} \cdot i$ . Así que concluimos que $k \in G_{i-1} \cdot i = A_i$ según se desee. $\square$

Lema Sea $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ sea un punto de en el simplex. Entonces $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ está en el casco convexo de $p(A_1)$ , $p(A_2)$ , ..., $p(A_n)$ si y sólo si tenemos $x_i \leq x_j$ siempre que $i \preceq j$ .

Prueba Es más limpio trabajar con $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$ y demostrar que $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es una combinación lineal no negativa de $p(A_1)$ , $p(A_2)$ , ..., $p(A_n)$ sólo si $x_i \leq x_j$ siempre que $i \preceq j$ .

Supongamos en primer lugar que $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es una combinación lineal no negativa de $p(A_1)$ , $p(A_2)$ , ..., $p(A_n)$ y deduzcamos que $x_i \leq x_j$ siempre que $i \preceq j$ . Basta con demostrar que, si $i \preceq j$ entonces $p(A_k)_i \leq p(A_k)_j$ para todos $k$ . Si $k \leq i$ entonces $p(A_k)_i = p(A_k)_j$ . Si $k > i$ entonces $p(A_k)_i=0$ y $p(A_k)_j \geq 0$ .

Ahora, supongamos que $x_i \leq x_j$ siempre que $i \preceq j$ . En particular, $x_1 = \min_{i \in A_1} x_i = \min_{i \in G \cdot 1} x_i$ . Así que podemos escribir $(x_1, \ldots, x_n) = x_1 |A_1| p(A_1) + (0, y_2, \ldots, y_n)$ para algunos $(0, y_2, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$ y también tenemos $y_i \leq y_j$ siempre que $i \prec j$ . A continuación inducimos, considerando el grupo $G_1$ y el vector $(y_2, y_3, \ldots, y_n)$ . $\square$

Teorema El casco convexo de $p(A_1)$ , $p(A_2)$ , ..., $p(A_n)$ es un dominio fundamental para $G$ .

Prueba Tome un genérico $(x_1, \ldots, x_n)$ en el simplex. Demostraremos que existe un único $g \in G$ tal que $(gx)_i \leq (gx)_j$ sólo si $i \preceq j$ . En primer lugar, debemos tener $(gx)_1 = \min_{i \in G \cdot 1} (gx)_i$ . Así que debemos utilizar $G$ para tomar el elemento mínimo de $\min_{i \in G \cdot 1} x_i$ y muévelo a la posición $1$ . Podemos hacerlo, y una vez hecho esto sólo podemos seguir aplicando elementos de $G_1$ . Entonces debemos tener de forma similar $(gx)_2 = \min_{i \in G_1 \cdot 2} (gx)_i$ ; de nuevo, podemos aplicar un elemento de $G_1$ para hacerlo y entonces sólo se nos permite aplicar elementos de $G_2$ . Siguiendo así, hay un elemento único de $g$ lo que hace que $(gx)_i = \min_{j \in G_{i-1} \cdot i } (gx)_j$ para cada $i$ . $\square$

Esto concluye la prueba de que tenemos el dominio fundamental como deseábamos. Terminamos señalando que, por el teorema del estabilizador orbital, tenemos $|A_k| = |G_{k-1}|/|G_k|$ así que $\prod_{k=1}^n |A_k| = \prod_{k=1}^n |G_{k-1}|/|G_k| = |G_0|/|G_n| = |G|/1 = |G|$ , lo que demuestra la curiosa observación de la pregunta.