No pretendo tener más que un conocimiento superficial de las matemáticas condensadas, pero las notas de clase de Scholze (sobre matemáticas condensadas y geometría analítica ) están escritos con tanta claridad que se puede captar la idea principal con sólo estudiar las primeras páginas.
El punto de partida es la observación de que la forma tradicional de dotar a algo tanto de una topología como de una estructura algebraica tiene algunas deficiencias. El ejemplo más sencillo es que los grupos abelianos topológicos no forman una categoría abeliana. Sabemos por larga experiencia con la teoría de categorías que una excelente indicación de si se tiene una "buena" definición de un objeto es que la categoría de todos sus objetos (y los mapas entre ellos) tenga buenas propiedades, y los grupos abelianos topológicos no tienen algunas de esas buenas propiedades. En matemáticas condensadas, la categoría de grupos abelianos topológicos se sustituye por la categoría de grupos abelianos condensados, que es una categoría abeliana.
Aunque el objetivo es bastante fácil de enunciar y motivar, el método para lograrlo no era inicialmente obvio ni siquiera para Scholze, uno de los arquitectos (junto con Clausen) de las matemáticas condensadas. Una categoría que puede parecer poco prometedora a primera vista desempeña un papel clave: la categoría $\mathcal{S}$ de conjuntos profinitos, también conocidos como espacios Hausdorff compactos totalmente desconectados (o Espacios de piedra ), con familias finitas de mapas conjuntamente suryectivos como cubiertas. La primera impresión que tiene la mayoría de la gente de los espacios totalmente desconectados es que son raros, y les cuesta incluso pensar en ejemplos distintos de la topología discreta. Sin embargo, hablando categóricamente, $\mathcal{S}$ tiene buenas propiedades. Un grupo abeliano condensado, en términos generales, es un tipo especial de functor (contravariante) de $\mathcal{S}$ a la categoría de grupos abelianos (más exactamente, es una gavilla de grupos abelianos sobre $\mathcal{S}$ ). Es decir, la forma en que se impone una estructura topológica a los grupos abelianos no es de la forma clásica (es decir, tomando un conjunto y definiendo una operación de grupo y una topología sobre él de forma aislada), sino tomando ciertos functores de esta categoría topológica de aspecto gracioso $\mathcal{S}$ a su categoría algebraica.
No hay nada en esta historia que sea peculiar de los grupos abelianos; sustituyendo "grupo abeliano" por "conjunto" o "anillo" se obtienen conjuntos condensados y anillos condensados, etcétera.
El beneficio de este cambio de estructuras clásicas a estructuras condensadas no es sólo estético. Una de las mejores aplicaciones es que permite demostrar ciertos resultados clásicos de la geometría algebraica. Un viejo enigma (por llamarlo de algún modo) es que ciertos teoremas sobre variedades complejas que "parecen algebraicas" sólo pueden demostrarse mediante "métodos trascendentales", es decir, invocando el análisis de un modo aparentemente esencial. Las matemáticas condensadas proporcionan nuevas demostraciones de algunos de estos teoremas clásicos que son más algebraicos. Véase Matemáticas condensadas y geometría compleja de Clausen y Scholze para más detalles.
