Mientras hago ejercicios relacionados con la teoría de grupos y anillos veo constantemente preguntas relacionadas con elementos/ideales/grupos nilpotentes. Sin embargo, aún no he visto ningún uso práctico de ellos en la teoría, pero imagino que sirven para algo ya que constantemente hago ejercicios sobre ellos. ¿Cuáles serían algunas aplicaciones útiles de la idea de elementos/ideales/grupos nilpotentes?
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Sea $R$ sea un anillo, $a\in R$ nilpotente con grado de nilpotencia $n$ . Entonces tenemos la propiedad extremadamente agradable de que siempre que tengamos cualquier expresión polinómica $\sum_{k=0}^m c_ka^k$ en $a$ podemos ignorar todos los términos en los que $k\geq n$ . Es decir, polinomios en $a$ efectivamente tienen grado como máximo $n-1$ si me permites mi lenguaje descuidado. Esto significa que para calcular todos expresiones polinómicas en $a$ sólo tenemos que calcular realmente $n$ elementos $a^0,a^1,a^2,\dots,a^{n-1}$ que luego podemos insertar en cualquier polinomio que queramos, ignorando todos los términos de orden superior.
Una aplicación es la forma normal de Jordan de un endomorfismo (los endomorfismos sobre un campo son un anillo). Desde un punto de vista más abstracto, la forma normal de Jordan de un endomorfismo $T$ nos da una descomposición $T=N+D$ donde $N$ es nilpotente, $D$ es diagonal, y $N$ y $D$ conmutar. Esto nos permite simplificar las expresiones polinómicas en $T$ también: Tenemos $T^n=(N+D)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}N^kD^{n-k}$ . Desde $N$ es nilpotente (digamos con grado de nilpotencia $m$ ), sólo tenemos que considerar los términos en los que $k<m$ porque todos los demás términos contienen potencias superiores de $N$ que desaparecen por nilpotencia. Y puesto que $D$ es diagonal, potencias de $D$ son fáciles de calcular: Basta con tomar las potencias de los elementos diagonales. Es decir, sólo tenemos que calcular $N^0,N^1,\dots,N^{m-1}$ para calcular eficientemente todas las expresiones polinómicas en $T$ . Y esto va más allá de las expresiones polinómicas. También se pueden considerar límites de expresiones polinómicas, series de potencias, por ejemplo. De esta forma, tenemos mucho más fácil calcular, por ejemplo, la exponencial matricial de $T$ que es $$\exp(T)=\sum_{k=0}^\infty \frac{T^k}{k!},$$ y sólo contiene expresiones polinómicas en $T$ - que son razonablemente fáciles de calcular gracias a la descomposición de $T$ en matrices/endomorfismos nilpotentes y diagonales conmutativos.
En resumen, los elementos nilpotentes facilitan el manejo de expresiones polinómicas arbitrarias.
