Límite multivariado $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{{x{y^2}}}{{{x^2} + {y^4}}} = 0$

Question

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{{x{y^2}}}{{{x^2} + {y^4}}} = 0$$

(a) Demuestre que el límite de $f(x, y)$ como $(x, y)$ se acerca a $(0, 0)$ a lo largo de cualquier línea recta es $0$ .

(b) ¿Tiene $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x, y)$ ¿Existen?

Lo que me confunde de esta pregunta es que, para la parte (b) basada en la prueba de discounidad, el límite claramente no existe. Si dejamos que $x=y^2$ lo que da un límite de $0.5$ y si dejamos que $x=y$ el límite se aproxima a $0$ . Pero en la parte (a), ¿cómo puede la aproximación al límite $0$ cuando ni siquiera existe? Y otro punto es que para la parte (a), no podemos dejar y=mx para probar que el límite existe a lo largo de una línea recta porque ese método sólo puede probar la discounidad, no puede ser usado para probar que un límite existe? Nota: lo que esta pregunta está pidiendo es que a pesar de que el límite claramente no existe, tenemos que demostrar por qué parece que existe en 0 cuando SOLO consideramos la trayectoria de aproximación de la recta .

Answer 1

En la parte (a) sólo tienes que demostrar que el límite se aproxima a 0 si te mueves a lo largo de una línea recta. Esto no contradice tu resultado para $x = y^2$ como $(x, y)$ luego se mueve en una parábola.

Answer 2

Elija el camino $x=my^2$ entonces $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)={m\over 1+m^2}$ que es diferente para cada $m$

Answer 3

La parte (a) hace hincapié en la línea recta. Por tanto, podemos cosiderar trayectorias $y=mx$ y $x=0$ .

En $y=mx$ tenemos $f= \frac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4}$

Eliminación de $x^2$ tenemos $\frac{m^2x}{1+m^4x^2}$ que va a 0 cuando x va a 0.

En $x=0$ , lo tenemos 0. Así que el límite de 0 es 0.

Answer 4

En a) se le pide que demuestre que $$\lim_{\lambda\rightarrow 0}\frac{(\lambda x)(\lambda y)^2}{(\lambda x)^2+(\lambda y)^4}=0$$ para cada $(x,y)\neq(0,0)$ .

Answer 5

Aunque todas las rectas pasan por 0,1, 0,01, 0,001 para llegar a cero, lo hacen a diferentes distancias del origen. Por tanto, es posible que $f(x,y)=0.01$ curva para aproximarse al origen, siempre que todas las rectas acaben por entrar en él.