Combinatoria/Probabilidad Seguro accidente

Question

Una compañía de seguros clasifica a las personas como normales o propensas a sufrir accidentes. Supongamos que la probabilidad de que una persona normal tenga un accidente en un año determinado es de 0,2 y que para una persona propensa a los accidentes esta probabilidad es de 0,6. Supongamos además que el 18% de los asegurados son propensos a los accidentes. Un asegurado no ha tenido ningún accidente en un año determinado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea propenso a los accidentes?

Lo que hice:

$P(\text{Normal&NoAccident}) = 0.82 \times 0.80 = 0.6560$

$P(\text{Accident Prone & No Accident} ) = 0.18 \times 0.94 = 0.1692$

$P(\text{No Accident}) = 0.6560 + 0.1692 = 0.8252$

$P(\text{Accident Prone} | \text{No Accident}) = P(\text{Accident Prone & No Accient}) / P(\text{No Accident}) = 0.2050$

Siento que esto es demasiado simple para una clase de probabilidad. ¿Hay algo que se me escapa?

Answer 1

Algunos de tus esfuerzos no son correctos porque confundes sucesos condicionales e intersección de sucesos. Para evitar estos errores en ejercicios similares, elige alguna notación para los sucesos, escribe las probabilidades que se te dan y las probabilidades que se te pide que encuentres. He aquí una sugerencia:

1. Sea $N$ denotan el caso de que una persona sea normal, con $P(N)=1-0.18=0.82$ ,
2. Sea $N^c$ denotan el caso de que una persona sea (no normal) propensa a los accidentes, con $P(N^c)=0.18$ ,
3. Sea $A$ denotan el caso de que un asegurado sufra un accidente, con $$P(A\mid N)=0.2$$ y $$P(A \mid N^c)=0.6$$

Eso es todo lo que se te da y se te pide que encuentres $P(N^c\mid A^c)$ . Por la Regla de Bayes (BR) y la Ley de Probabilidad Total (LTB) (para el denominador), se tiene que \begin{align}P(N^c\mid A^c)&\overset{(BR)}=\frac{P(A^c\mid N^c)P(N^c)}{P(A^c)}=\frac{\left(1-P(A\mid N^c)\right)\cdot 0.18}{1-P(A)}\\[0.3cm]&\overset{(LTP)}=\frac{(1-0.6)\cdot 0.18}{1-\left(P(A\mid N)P(N)+P(A\mid N^c)P(N^c)\right]}\\[0.3cm]&=\frac{(1-0.6)\cdot 0.18}{1-\left[0.2\cdot0.82+0.6\cdot0.18\right]}=\frac{0.072}{0.728}=0.0989\end{align}