Una pseudo-prueba muy complicada de $0=-1$ mediante series e integrales

Question

Cómo lidiar con una pregunta reciente He visto un ejercicio muy bonito para los estudiantes de Calc-2, es decir, encontrar el error en las siguientes líneas.

Lema 1. Para cualquier $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $$ \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = 0. $$ Lema 2. Para cualquier $x\in(0,1)$ que tenemos: $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n,\qquad \frac{\log x}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 0}(n+1) x^n\log(x). $$ Por Lemmas 1 y 2 se deduce que: $$\begin{eqnarray*}(\text{Lemma 1})\quad\;\;\color{red}{0}&=&\int_0^1 \sum_{n\geq0} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Lemma 2})\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x} + \frac{\log x}{(1-x)^2}\right)\,dx\\[0.2cm](x\mapsto 1-x)\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{x}+\frac{\log(1-x)}{x^2}\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Taylor series of }x+\log(1-x))\qquad&=&-\int_0^1 \frac{1}{x^2} \sum_{k\geq2}\frac{x^k}k \,dx\\[0.2cm](\text{termwise integration})\qquad&=&-\sum_{k\geq 2} \frac{1}{k(k-1)}\\[0.2cm](\text{telescopic series})\qquad&=&-\sum_{m\geq 1} \left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)=\color{red}{-1}. \end{eqnarray*}$$

Ahora las preguntas reales: ¿fue capaz de localizar el defecto fatal a primera vista ?
¿Cree que es un ejercicio adecuado para los estudiantes de Cálculo-2 (o Cálculo-X)? ?

Answer 1

El error está al principio, en el intercambio de integral y suma. Estoy demasiado oxidado (¡y demasiado vago!) para ir más allá de comprobar que la secuencia de funciones no satisface una condición suficiente estándar para el intercambio, pero los otros pasos son legítimos, así que ese debe ser el punto de fricción.

En los cursos de cálculo estadounidenses que he impartido u observado, este material vendría en Calc. $2$ En la medida en que aparezca, y el intercambio de integral y suma no aparecerá en absoluto; eso lo convierte en un ejercicio esencialmente imposible. Además, la mayoría de los estudiantes de los típicos cursos de cálculo de primer año todavía tienen la noción de que las matemáticas son cálculos algorítmicos; conseguir que presten suficiente atención a los detalles para entender por qué la inexistencia de un cero de $\frac1x$ no contradice el teorema del valor intermedio, ni siquiera para recordar que el signo de $x$ importa cuando se multiplica una desigualdad $f(x)\le g(x)$ por $x$ es un reto no trivial, hasta el punto de que el primero suele pasar por el tablero.

Ce site puede ser apropiado para un buen curso de cálculo avanzado a la antigua usanza; los cursos de análisis real de pregrado que enseñé tenían un énfasis diferente y no cubrían el material necesario.

Answer 2

$$ \int_0^1 \sup_N \left| \sum_{n=0}^N x^n (1+(n+1)\log x) \right| \, dx = +\infty $$

El teorema de convergencia dominada dice $$ \lim_N \int f_N = \int \lim_N f_N \quad\text{if } \int \sup_N |f_N| < \infty. $$ Es un "si" demasiado grande en este caso.