Supongamos que una pequeña categoría $\mathbf C$ tiene todos los productos finitos. Entonces la categoría $\mathbf{Set}^{\mathbf{C}^{\mathrm {op}}}$ es cartesiano cerrado.
Fijar un $P\in \mathbf{C}^{\mathrm {op}}$ . Entonces sabemos cómo $-\times P$ y a partir del lema de Yoneda podemos encontrar su adjunto derecho $-^P$ . De hecho, para cualquier $Q\in \mathbf{C}^{\mathrm {op}}$ tenemos que en un objeto $C\in \mathbf{C}$ nuestro functor $Q^P(C)$ se define por $\operatorname {nat}(H_C,Q^P)$ y así por $\operatorname {nat}(H_C\times P,Q)$ . Mis dificultades están en demostrar la propiedad universal del counit $\epsilon: Q^P\times P\xrightarrow{_.} Q$ que se define por $\epsilon_C:(\theta,z)\mapsto \theta(1_C,z)$ para cualquier $C$ .
Debo demostrar que (para $R\in \mathbf{C}^{\mathrm {op}}$ ) dada una transformación natural $\phi:R \times P \xrightarrow{_.} Q$ existe un único $\bar{\phi}$ tal que $\epsilon\circ (\bar{\phi}\times 1_{P})=\phi$ . Así que toma una transformación natural $\alpha:R\xrightarrow{_.} Q^P$ y supongamos que hace conmutativo el diagrama triangular del conito. Entonces para cualquier objeto $C\in \mathbf{C}$ estudie la $\alpha_C$ debemos definir $\alpha_C$ sobre los elementos $x\in RC$ . Es decir, debemos definir la transformación natural $\alpha_C(x):H_C\times P\xrightarrow{_.} Q$ a todos los niveles, es decir, definir cualquier $[\alpha_C(x)]_D$ para $D\in \mathbf{C}$ . Como sé que $[\alpha_C(x)]_C(1_C,z)$ es igual a $\phi(x,z)$ Supongo que el tipo de argumento que debo utilizar tiene que ver con Yoneda / elementos universales. Sin embargo, en general debo definir $[\alpha_C(x)]_D:H_C(D)\times PD\to QD$ a partir de $1_C$ Seguro que puedo coger cualquier $f:D\to C$ pero no sé cómo atraparlo. $y\in PD$ a partir de $z\in PC$ (utilizando $Pf$ ?). Espero haber explicado bien el problema, gracias por cualquier aclaración
