Demuestra que $\{x\in X\mid \forall$ conjunto abierto $U, x\in U \implies A\cap U\neq\emptyset\} \subseteq A\cup A'$ .

Question

$A'$ es el conjunto derivado, es decir $A'=\{x\in X\mid x\in\overline{A\setminus \{x\}}\}$ .

Estoy atascado en esto porque literalmente me quedé sin ideas.

Sea $x\in S:= \{x\in X\mid \forall$ conjunto abierto $U, x\in U \implies A\cap U\neq\emptyset\}$ . Entonces, para cada conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$ , $A\cap U \neq\emptyset$ .

Supongamos una contradicción, $x\notin A\cup A'$ entonces $x\notin A$ y $x\notin A'$ . Pero, ¿y qué?

Answer 1

Sea $x\in X$ tal que $x\in U$ implica $A\cap U\ne\emptyset$ para cada subconjunto abierto $U$ de $X$ . Para mostrar $x\in A\cup A'$ suponemos $x\not\in A$ y mostrar $x\in A'$ . Desde $x\not\in A$ sabemos $$x\in A' \iff x\in\overline{A\setminus\{x\}}=\overline{A}.$$ Así pues, para concluir $x\in\overline{A}$ basta con demostrar que todo conjunto cerrado que contenga $A$ también contiene $x$ . Para ello, supongamos por contradicción que $F$ es un conjunto cerrado tal que $A\subseteq F$ y $x\not\in F$ . Entonces existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U \subseteq F^c$ . Pero esto implica $U\cap A\subseteq U\cap F=\emptyset$ lo que contradice nuestra hipótesis sobre $x$ . Por lo tanto $$ x\in \bigcap\{F\subseteq X\ \text{closed} \mid A\subseteq F\} = \overline{A}$$ y en consecuencia $x\in A'$ como desee.