Determina si la siguiente serie es convergente.

Question

Determina si la siguiente serie es convergente:

$$\sum_n^{\infty} \frac{1}{n^2 + \cos \pi n}$$ .

Answer 1

$n^2 + \cos n\pi \geq n^2 - 1 \geq 0.5n^2$ para $n \geq 2$ . Así que..:

$$ \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n^2 + \cos n\pi} < \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{2}{n^2}.$$

Por prueba de comparación, la serie converge.

Answer 2

$\dfrac{1}{n^2-1}\geqslant\dfrac{1}{n^2+\cos\pi n}$

Por lo tanto, si $\sum\dfrac{1}{n^2-1}$ entonces $\sum\dfrac{1}{n^2+\cos\pi n}$ converge.

Ahora, por la prueba de condensación de Cauchy, si $\sum\dfrac{2^n}{2^{2n}-1}$ converge, la suma converge.

$\dfrac{2^n}{2^{2n}-1}=\dfrac{2^n}{(2^n+1)(2^n-1)}<\dfrac{1}{2^n-1}$

Sabemos que $\sum\dfrac{1}{2^n-1}$ converge.

Por lo tanto, converge.