¿Por qué nos importan los valores propios del mapa de Frobenius?

Question

La hipótesis de Riemann para campos finitos puede enunciarse del siguiente modo: tomemos una variedad proyectiva lisa X de tipo finito sobre el campo finito $\mathbb{F}_q$ para algunos $q=p^n$ . Entonces los valores propios $\alpha_j$ de la acción del automorfismo de Frobenius sobre el $i$ th $\ell$ -(son números algebraicos y) tienen norma $q^{i/2}$ . Esto forma parte de la filosofía general que condujo a la demostración de las conjeturas de Weil. Lo que no entiendo, y perdón por decirlo, es por qué nos preocupamos por estos valores propios.

Como teórico de la homotopía, he descubierto que las otras tres conjeturas (racionalidad, números de Betti y ecuación funcional) son útiles para comprender las funciones zeta desde una perspectiva geométrica. Juntas, describen la relación entre la combinatoria y la cohomología de una variedad. La hipótesis de Riemann, sin embargo, no parece admitir una interpretación directa de este tipo; no está claro qué papel desempeñan los $\alpha$ en la analogía. ¿Tienen una interpretación como la versión aritmética de un objeto geométrico/topológico clásico, como si los grados fueran números de Betti? Si no es así, ¿cómo debería entenderlos?

Answer 1

La hipótesis de Riemann es muy importante para la relación entre la cohomología y la combinatoria de la variedad.

En primer lugar, la hipótesis de Riemann nos permite leer los números de Betti a partir de los recuentos de puntos sobre campos finitos, es decir, los $i$ El número de Betti es el número de ceros/polos de $$e^{ \sum_j \# X(\mathbb F_q^j) u^j / j }$$ de valor absoluto $q^{-i/2}$ .

Sin la hipótesis de Riemann, y sólo con las otras conjeturas de Weil, no es posible calcular los números de Betti de esta manera, porque no se puede distinguir qué ceros o polos provienen de qué $P_i$ s o, peor aún, descartar el caso de que los ceros y los polos se anulen. Sin la hipótesis de Riemann, sólo se puede calcular la característica de Euler.

En segundo lugar, la hipótesis de Riemann nos permite obtener información sobre el número de puntos en campos finitos a partir de los números de Betti. El más sencillo es el límite superior $$|X(\mathbb F_q)| \leq \sum_{i=0}^{2n} \dim H^i(X) q^{i/2}.$$ Sin la hipótesis de Riemann, sólo se podrían demostrar resultados mucho más débiles de esta forma (tal vez se podría sustituir $q^{i/2} $ con $q^{ \max(i,n)}$ o algo así). Ni siquiera conociendo exactamente los números de Betti se puede descartar un valor concreto del número de puntos en un campo determinado.

Diría incluso que esto es mucho más directo que la relación entre geometría y combinatoria obtenida a partir de las restantes conjeturas de Weil.

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En términos de un análogo en geometría / topología clásica, ¡lo obvio serían los valores propios de la acción de un mapa sobre la cohomología! Por supuesto, normalmente no se dispone de una fórmula exacta a priori para el valor absoluto de los valores propios, pero si se tuviera, sin duda sería útil para comprender los puntos fijos del mapa.

Así pues, la hipótesis de Riemann es un fenómeno nuevo que no tiene un análogo en topología (salvo el análogo de Serre de las conjeturas de Weil para las variedades de Kahler), pero los valores propios de los operadores que actúan sobre la cohomología eran una noción preexistente. Desde luego, Lefschetz no pensaba en Frobenius cuando demostró su fórmula original del punto fijo.

Quizá habría que mencionar también que los valores propios de la clase de mapas de una superficie que actúan sobre su cohomología dan información sobre dónde se sitúa esa clase de mapas en la clasificación de Nielsen-Thurston.

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Hay un aspecto de los análogos clásicos que creo que merece mencionarse porque es de gran importancia:

La hipótesis de Riemann en las conjeturas de Weil nos dice que Calcular los grupos de cohomología de alto grado (con soporte compacto) o de bajo grado (si la variedad es suave) de una variedad en topología es análogo a obtener una estimación aproximada del número de puntos en aritmética. .

Este es el punto de partida de profundas conexiones entre la homología estable y otros métodos topológicos para calcular los grupos de cohomología de bajo grado sin calcular necesariamente cada grupo de cohomología, y la teoría analítica de números u otros campos en los que las cantidades se calculan ¡aproximadamente!

Así que RH no es un análogo de nada clásico en topología, pero nos dice cuáles son los análogos de algunas afirmaciones clásicas en topología.

Answer 2

He aquí algunos usos diferentes de conocer el tamaño de los valores propios como números complejos.

Aplicación 1: Sumas exponenciales acotadas. Muchas sumas exponenciales clásicas pueden interpretarse esencialmente como una traza (suma) de tales valores propios, que es un conjunto totalmente diferente de términos que se suman a la suma exponencial original: una suma exponencial inicial de $p$ términos sobre el campo $\mathbf F_p$ puede ser una traza de Frobenius en un espacio de baja dimensión, por ejemplo de dimensión $2$ por lo que la suma exponencial de $p$ términos es igual a la suma de dos términos $\alpha_p + \beta_p$ . Entonces RH te permite encuadernado la suma exponencial, como en el límite de Hasse $|a_p| = |\alpha_p + \beta_p| \leq |\alpha_p| + |\beta_p| \leq 2\sqrt{p}$ para una curva elíptica sobre $\mathbf F_p$ . Mientras que la HR para curvas ayuda a obtener límites agudos para sumas exponenciales en una variable, la HR para variedades de dimensiones superiores conduce a límites agudos para sumas exponenciales en varias variables.

Aplicación 2: Determinación de semiplanos de convergencia más agudos para los productos de Euler. Que el producto de Euler que define el $L$ -de una curva elíptica sobre $\mathbf Q$ converge absolutamente para ${\rm Re}(s) > 3/2$ se debe al límite $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$ para primos $p$ de buena reducción, que proviene de $|\alpha_p| = |\beta_p| = \sqrt{p}$ . Si no tuviéramos esa información y sólo tuviéramos la estimación más cruda $|a_p| \leq p$ de la descripción de $a_p$ como una suma sobre $\mathbf F_p$ entonces sólo podríamos decir que el producto de Euler converge en el semiplano menor derecho ${\rm Re}(s) > 2$ . Esta aplicación puede extenderse a los productos de Euler que definen Hasse-Weil más generales $L$ -de variedades sobre campos numéricos, de las cuales las curvas elípticas sobre $\mathbf Q$ son un caso especial.

Aplicación 3: Demostración de Delinge de la conjetura de Ramanujan-Petersson para formas modulares asociadas a subgrupos de congruencia de ${\rm SL}_2(\mathbf Z)$ como consecuencia de su prueba de RH y de trabajos anteriores de Eichler, Shimura, Kuga y otros. En particular, la conjetura de Ramanujan de que para los coeficientes del peso $12$ forma de cúspide $\Delta(q) = \sum_{n\geq 1} \tau(n)q^n$ tenemos $|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}$ para todos los primos $p$ se basa en RH para variedades sobre campos finitos. Encontrar la variedad relevante sobre $\mathbf F_p$ para esta aplicación es no fácil.

Si usted cree que valen la pena o no, es cuestión de gustos, pero cada una de ellas es sin duda interesante para algunas personas. La primera aplicación (mejorar los límites de las sumas exponenciales) fue históricamente una de las motivaciones para demostrar la HR en campos finitos, al menos para las curvas. Véase la última sección del primer artículo de Roquette sobre el desarrollo histórico de la HR en la característica $p$ aquí y la sección 3 (y mucho más) de su segundo documento aquí . Si sustituyes "rv2" en la URL del segundo artículo por "rv3" y "rv4" verás las partes 3 y 4. No hace falta tener una definición de la función zeta de una variedad para interesarse por las sumas exponenciales y lo grandes que pueden ser: muchas sumas exponenciales (llamadas así por Gauss, Jacobi, Kloosterman, etc.) eran de interés independientemente de tener una definición de las funciones zeta de variedades sobre campos finitos, y la cuenta aquí muestra cómo las cuestiones de recuento sobre los patrones de residuos cuadráticos de finales del siglo XIX y principios del XX conducen de forma natural al interés por acotar las sumas exponenciales.

Dos referencias más: El artículo de Dieudonne "On the History of the Weil Conjectures", en The Mathematical Intelligencer 10 (1975), 7-21 o en forma reimpresa al comienzo de Freitag y Kiehl's La cohomología de Etale y la conjetura de Weil[s]. y el artículo de estudio de Katz "An overview of Deligne's proof " en el Proc. Symp. Pure Math (volumen 28) on Hilbert Problems publicado por la AMS en 1976.

Answer 3

Todas las demás respuestas dan buenas razones por las que los valores propios y sus valores absolutos son importantes, pero debe tenerse en cuenta que los valores propios pueden utilizarse para obtener un recuento exacto de puntos mediante la fórmula del punto fijo. Así, si $X/\mathbb F_q$ es una variedad proyectiva lisa y si denotamos los valores propios de $\Phi_q$ en el $i$ la cohomología etale por $\lambda_{ij}$ entonces para todo $n\ge1$ , $$ \#X(\mathbb F_{q^n}) = \sum_{i=0}^{2d} (-1)^i \sum_{j=1}^{b_i} \lambda_{ij}^n. \tag{$ * $} $$ El término principal en $(*)$ es $q^d$ y las estimaciones de la hipótesis de Riemann sobre los demás valores propios dan $$ \#X(\mathbb F_{q^n}) = q^{dn} + O\left(q^{(d-\frac12)n}\right), \tag{$ ** $} $$ donde el gran $O$ constante depende sólo de los números de Betti. La fórmula $(*)$ con los valores precisos de los valores absolutos de los términos es el punto de partida de una enorme cantidad de investigación relativa a los puntos en variedades sobre campos finitos.

Anexo : Como señala KConrad, la estimación $(**)$ fue demostrada anteriormente por Lang y Weil [1] con constantes que dependen bastante explícitamente de la geometría de la incrustación de la variedad en el espacio proyectivo. Sin embargo, las estimaciones obtenidas son más débiles que las que provienen de $(*)$ el teorema de Deligne y la desigualdad del triángulo: $$ \#X(\mathbb F_{q^n}) \le q^{dn} + \sum_{i=1}^{2d} b_i\cdot q^{ni/2}. $$ Por ejemplo, si $H^1_{\text{et}}(X/\mathbb F_q,\mathbb Q_\ell)=0$ es decir, si $b_1=0$ el error se reduce a $O(q^{(d-1)n})$ .

[1] Lang, Serge; Weil, André , Número de puntos de variedades en campos finitos , Am. J. Math. 76, 819-827 (1954). ZBL0058.27202 .

Answer 4

Me sorprende que las grandes respuestas hasta ahora no mencionen para nada las pesas. Una consecuencia del teorema de Deligne es que la función zeta de una variedad proyectiva lisa conoce los números de Betti: $h^i(X)$ es el número de ceros ( $i$ impar) o postes ( $i$ par) de $Z(X,t)$ con valor absoluto $q^{i/2}$ .

En variedades que no son suaves propiamente dichas (es decir, singulares o abiertas), esto no es del todo correcto; por ejemplo, si $X = \mathbf A^1\setminus\{0\}$ entonces $\lvert X(\mathbf F_q)\rvert = q-1$ pero $h^i_c(X) = 1$ para $i\in\{1,2\}$ . Esto quiere decir que $H^1_c(X,\mathbf Q_\ell)$ realmente "proviene de un $H^0_c$ "(es decir, tiene peso $0$ ), aunque parezca un $H^1$ . (Por supuesto en este caso hay una explicación fácil en términos de la secuencia exacta larga para cohomología compactamente soportada para la inclusión $X \subseteq \mathbf P^1$ .)

Esto llevó a Deligne a definir estructuras mixtas de Hodge sobre la cohomología de variedades algebraicas complejas singulares o abiertas. Esta analogía se explica en Teoría de Hodge I (un resumen de un discurso de la ICM), y elaborado en las partes II y III (artículos reales de revistas). Así pues es un análogo de la teoría de pesos en geometría algebraica compleja, ¡excepto que históricamente la analogía era al revés!

La analogía entre la acción de Galois sobre $H^i(X_{\bar k},\mathbf Q_\ell)$ y la estructura pura de Hodge en $H^i(X_{\mathbf C},\mathbf Z)$ (digamos para variedades proyectivas lisas) no es meramente filosófico. En $p$ -geometría ádica, interactúan estrechamente en formas descritas por $p$ -y sobre campos numéricos están vinculadas conjeturalmente por la conjetura Mumford-Tate. En ambos casos, los grupos de Galois son sustancialmente mayores que $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbf F}_q/\mathbf F_q)$ pero el caso del campo finito es un caso importante para empezar.