Teoría del Topos Superior: ¿cuál es la moraleja?

Question

A menudo he visto Lurie's Teoría de Topos Superiores alabado como el próximo "gran" libro de matemáticas. Como alguien que no está especialmente al día sobre el estado de la teoría moderna de la homotopía, el libro parece un montón de tonterías abstractas y los desarrollos iniciales carecen de motivación. Me interesa saber qué nos permiten hacer concretamente las herramientas desarrolladas.

¿Qué nos permite hacer HTT que antes no podíamos?

Tenga en cuenta que estoy buscando ejemplos concretos o teoremas que se pueden expresar en términos de matemáticas que uno no necesita la teoría topos superior de entender. También me interesaría saber cómo el libro ha cambiado perspectivas preexistentes sobre la teoría de homotopías.

Answer 1

Parece que en realidad hay dos preguntas aquí:

1. ¿Por qué teoría de categorías superiores? ¿Qué preguntas puede plantear sin el lenguaje de la teoría de categorías superiores que se respondan mejor utilizando dicha teoría?

2. ¿Por qué el trabajo de Lurie establece específicamente la norma para los fundamentos de la teoría de categorías superiores?

Son cuestiones muy distintas. Dejaré que otros se ocupen de (1) y me centraré en (2). Para ello, me remitiré a un antigua respuesta mía para ver un resumen de algunos de los contenidos de HTT y HA. Allí, dije:

En Teoría de Topos Superiores Lurie logra muchas cosas. Permítanme destacar algunas:

• Estudio de la estructura del modelo Joyal y comparación con la estructura del modelo Bergner.

• Un estudio de las fibraciones cartesianas y del enderezamiento/desenderezamiento, el $\infty$ -de la construcción de Grothendieck. Esto se considera a menudo como el corazón técnico de la teoría de Lurie, ya que las fibraciones cartesianas se utilizan sistemáticamente para evitar escribir todos los datos de coherencia superior implicados en $qCat$ -functores valorados.

• Un desarrollo de las nociones fundamentales de la teoría de categorías -- (co)límites, extensiones Kan, cofinalidad, etc, que permite "hacer teoría de categorías" en la $\infty$ -entorno categórico.

• Desarrollo de la teoría de la presentabilidad $\infty$ -categorías. El objetivo aquí es acceder a (las instancias más importantes de) el teorema del functor adjunto de Freyd en las $\infty$ -y, en particular, la teoría de las localizaciones.

• La teoría de (Grothendieck) $\infty$ -propósitos.

En el contexto de las fundaciones, quizá valga la pena mencionar también algunos de los contenidos de Álgebra superior :

• El teorema de monadicidad de Barr-Beck. Tiendo a considerarlo, junto con el teorema del functor adjunto, como "los únicos teoremas reales" de la teoría de categorías ordinaria básica.

• Una teoría de las operadas que permite "hacer álgebra" $\infty$ -categóricamente.

• La teoría de la estabilidad $\infty$ -que desempeñan aproximadamente los papeles de las categorías abelianas y las categorías trianguladas en la $\infty$ -entorno categórico.

Así que la razón por la que HTT y HA establecen el estándar para los fundamentos de la teoría de categorías es bastante evidente. En ningún otro lugar se puede encontrar un tratamiento tan exhaustivo. Las 2.500 páginas de estos libros están ahí por una razón. Algunas partes de HTT/HA estaban disponibles previamente en diversas fuentes, pero otras no, y además HTT/HA las sintetizan en un relato coherente. Así que usted no tiene que gastar tanto tiempo como lo haría de otra manera a Parcheando juntos los resultados probados en marcos ligeramente diferentes utilizando los resultados de comparación de modelos.

Esto es particularmente sorprendente desde una perspectiva histórica: en los días en que HTT apareció por primera vez (hace ahora casi 10 años -- llamarlo "el próximo gran libro de matemáticas" ya está un poco atrasado creo yo: es un actual gran libro de matemáticas), todo esto era un sueño. Lurie lo hizo realidad.

Añadiré a título personal que mi modo más habitual de hacer teoría de categorías superiores es fingir que todo es una categoría ordinaria y utilizar libremente todas las herramientas disponibles en ella, hasta que he elaborado un argumento completo. Después sigo el proceso de buscar $\infty$ -análogos categóricos de cada una de las herramientas 1-categóricas que he utilizado en mi argumento. Esto funciona mejor de lo que cabría esperar, porque hoy en día es razonable confiar en que la mayoría de estas herramientas estarán efectivamente disponibles en la literatura. Esto se debe en gran parte al trabajo de Lurie. Antes de Lurie, se podía hacer algo así, pero sólo si uno se contentaba con argumentos incompletos que dependían de que el sueño de la teoría de categorías superiores funcionara. Hoy en día, yo diría que la teoría de las categorías superiores, entre las diversas disciplinas matemáticas, tiene en realidad un potencial relativamente alto. alta de rigor. Esto se debe, en parte, a la labor de Lurie.

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Permítanme terminar compartiendo una especie de testimonio de Clark Barwick ( originalmente de la sala de chat de teoría de homotopía aquí en MO, en el contexto de otra pregunta MO ). Gracias a user1092847 por desenterrar esto en el comentarios ¡Abajo!

Clark Barwick sobre el impacto de Lurie en HTT:

... Siento la necesidad de defender la escritura de Jacob Lurie. Permítanme adoptar una perspectiva un tanto egoísta, porque crecí junto a categorías superiores en cierto sentido. Leí preprints y artículos de Rezk, Hirschowitz-Simpson, Simpson, Tamsamani, Toen, Joyal, el HTT-prototipo de Jacob en el arXiv, y otros como estudiante de posgrado (2001-05).

Todos estos trabajos tenían la misma característica: se organizaban en torno a un objetivo concreto, dejando para más adelante el trabajo más serio de una teoría completa. Había todo tipo de cuestiones de coherencia homotópica que quedaban pendientes.

Así que desarrollé mi propio punto de vista sobre estas cosas y empecé a escribir un manuscrito, cuya primera parte fue mi tesis. Cuando estaba a mitad de camino de mi primer postdoctorado, ya había escrito un montón de "prenotaciones" que hacían suficiente trabajo de fundamentación para garantizar, por ejemplo, que no hubiera confusión sobre "cómo de único" es un adjunto entre -categorías, cómo demostrar la existencia de todos los colímites en una -categoría a partir de, digamos, realizaciones geométricas y coproductos, una teoría de lo que ahora llamamos -operadas, etc., etc.

Se trataba de capas y capas de artilugios combinatorios gigantes, y a menudo eran tan frágiles que no estaba seguro de haberlos colocado correctamente.

Más o menos por aquel entonces conocí a Jacob en una conferencia, y me comentó que había revisado el texto que publicó en arXiv para añadir un poco más de detalle. Le dije que me encantaría verlo. Me envió un PDF de unas 600 páginas de HTT.

Para mi sorpresa y horror, había hecho todo lo que yo había hecho, pero más y mucho mejor. Había comprendido cuestiones como la cofinalidad de una forma a la que yo no tenía acceso con los modelos que utilizaba. En su texto, las pruebas funcionaban gracias a unos modelos muy compactos y robustos que eligió al principio, siguiendo a Joyal.

Esos modelos le obligaron a realizar un trabajo técnico bastante tedioso en las primeras secciones, pero le garantizaron que si algo existía hasta la homotopía, "realmente" existía. (Esto significaba que era realmente fácil entender los argumentos.

Cuando miras una prueba en HTT o HA o SAG, todo está ahí. No te dice que "puedes" encontrar el argumento, ¡te lo da! Esa es la verdadera ventaja de los argumentos de Jacob (y de Joyal antes que él): son completamente convincentes. Se pueden comprobar (y en raras ocasiones, sí, corregir) sus pruebas, porque cada objeto individual es muy concreto. (Véanse las afirmaciones sobre $A_{\infty}$ -categorías como la de Fukaya).

Después de varias noches sin dormir, abandoné lo que estaba intentando desarrollar. No iba a intentar competir. Por otra parte, no me sentía lo suficientemente cómodo en la perspectiva de Joyal/Lurie como para utilizar realmente su modelo, así que intenté hacer las cosas de una manera independiente del modelo, como sugiere Rune.

Pero incluso cosas sencillas, como construir un functor monoidal simétrico entre dos -categorías monoidales simétricas cuando no lo hay por razones formales, es muy difícil desde esa perspectiva: el único camino que vi fue comprobar una jerarquía infinita de coherencias. Tardé mucho en darme cuenta de que la perspectiva fibracional estaba exactamente diseñada para hacer fácil (o al menos convincente) escribir estas cosas. En realidad, Jacob te está proporcionando las herramientas para realizar construcciones explícitas, no triviales y no formales con categorías superiores de un modo preciso, legible y convincente. De eso tratan resultados como HTT.3.2.2.13.

Jacob lo ha hecho continuamente: en todo momento, ha prestado un servicio increíble a la comunidad, abriendo no sólo un camino estrecho hacia una aplicación deseada, sino un túnel expansivo por el que muchos de nosotros podemos viajar. Ofrece tecnologías increíblemente refinadas y entrelazadas que son ideales, al menos, para gente como yo. Estoy en una posición especialmente buena para apreciar ese tipo de trabajo, porque yo lo intenté y fracasé donde él tuvo éxito.

¿Resuelve todos los problemas o define todos los objetos imaginables? No, claro que no. (Y si ahora es difícil de leer, ¿cómo sería si lo hiciera? (No obstante, señalaré que en SAG.E.2 se ocupa de los objetos generales a favor). ¿Es posible afinar sus resultados o utilizar pequeñas técnicas para obtener mejoras en sus resultados? Claro, pero en general creo que la precisión, claridad y minuciosidad de los escritos de Jacob es algo a lo que la teoría de la homotopía debería aspirar.

Answer 2

Voy a dar una respuesta general primero, y una respuesta específica a continuación. En mi opinión, cuando Jacob Lurie escribió Higher Topos Theory, estaba canalizando a Grothendieck. Cuando Grothendieck revolucionó la geometría algebraica, estoy seguro de que a mucha gente le pareció "un montón de tonterías abstractas y los desarrollos iniciales carecían de motivación", por utilizar las palabras del OP. Sin embargo, con el tiempo, quedó claro que el enfoque abstracto conducía a nuevos y potentes resultados que podían enunciarse en el lenguaje original, tal y como quería el candidato.

De ahí que, para responder a "cuál es la moraleja" de toda esta abstracción, resulte instructivo echar un vistazo a las reflexiones de Grothendieck sobre su propio programa. Una fuente excelente para ello es Colin McLarty El mar en alza . McLarty escribe:

Grothendieck describe dos estilos en matemáticas. Si pensamos en un teorema que hay que demostrar como en una nuez que hay que abrir para llegar a "la pulpa nutritiva protegida por la cáscara", entonces el principio del martillo y el cincel es: "poner el filo del cincel contra la cáscara y golpear con fuerza. Si es necesario, comience de nuevo en muchos puntos diferentes hasta que la cáscara se agriete y esté satisfecho". Dice [Grothendieck]:

Puedo ilustrar el segundo enfoque con la misma imagen de un tuerca que hay que abrir. La primera analogía que me ha venido a la mente es la de sumergir la nuez en algún líquido ablandador, y ¿por qué no simplemente agua? De vez en cuando se frota para que el líquido penetre mejor, y si no, se deja pasar el tiempo. La cáscara se vuelve más flexible con el paso de las semanas y los meses. la cáscara se abre como un aguacate perfectamente maduro.

Hace unas semanas me vino a la mente una imagen diferente. Lo desconocido por conocer se me aparecía como una extensión de tierra o marga dura, que se resiste a ser penetrada... el mar avanza insensiblemente en silencio, nada parece suceder, nada se mueve, el agua está tan lejos que apenas se oye... y sin embargo acaba por rodear la sustancia resistente

Hay muchas citas de Grothendieck en este sentido. Esencialmente, su objetivo era para comprender a un nivel profundo, y luego los resultados caían de forma natural. De hecho, así es como logró la notable hazaña, comentada aquí de resolver 14 problemas abiertos proporcionados por Schwartz, como estudiante de doctorado. El enfoque abstracto de Grothendieck dio sus frutos en la geometría algebraica, y el de Lurie ha dado (y seguirá dando) sus frutos en la teoría de la homotopía.

Hay muchos ejemplos concretos. En los últimos años, los teóricos de la homotopía han hecho enormes progresos en los cálculos de la teoría K algebraica que habían sido un problema para los matemáticos durante décadas. Por ejemplo, consideremos el artículo Sobre la teoría K de $\mathbb{Z}/p^n$ por Benjamin Antieau, Achim Krause y Thomas Nikolaus. Este artículo calcula, de forma explícita, la teoría K algebraica de $\mathbb{Z}/p^n$ . Les recuerdo que Dan Quillen ganó una Medalla Fields por calcular la teoría K algebraica de $\mathbb{Z}/p$ pero no sabía cómo calcularla para $\mathbb{Z}/p^n$ . La declaración no tiene nada que ver con $\infty$ -categorías, pero sin duda fueron una parte esencial del programa que condujo a la prueba, ya que se ocuparon de detalles técnicos que impidieron el despegue de intentos anteriores.

Otro ejemplo Descenso y desaparición en teoría K algebraica cromática mediante acciones de grupo , de Dustin Clausen, Akhil Mathew, Niko Naumann y Justin Noel, que resuelve la $p$ -de la conjetura de descenso de Galois de Ausoni-Rognes. De nuevo, una afirmación que no requería $\infty$ -categorías, y una prueba que las necesita de manera fundamental.

Por último, el documento Nullstellensatz cromático de Robert Burklund, Tomer M. Schlank y Allen Yuan, demuestra la conjetura del corrimiento cromático, uno de los grandes problemas abiertos de la teoría de la homotopía cromática, un campo que ha proporcionado algunas de nuestras mejores técnicas hasta la fecha para calcular los grupos estables de homotopía de esferas. Otra vez, $\infty$ -las categorías son esenciales para la demostración, mientras que el enunciado podría haberse entendido en los años setenta.

EDIT: Por supuesto, hay muchos más ejemplos concretos. En cierto sentido, el programa de Lurie comenzó con el objetivo de demostrar la Hipótesis del Cobordismo, una afirmación sobre modelos de teorías cuánticas de campos topológicos, de 1995. Por supuesto, no es necesario $\infty$ -categorías para la declaración. En el mismo artículo de 1995, Báez y Dolan formularon la Hipótesis de Estabilización, que ha sido demostrada varias veces en la última década. Gepner y Haugseng escribió una de esas pruebas utilizando el lenguaje de $\infty$ -categorías.

Answer 3

He aquí un añadido tardío a las demás respuestas. En resumen, creo que la comparación con Grothendieck es acertada. Más concretamente, quiero argumentar que HTT logró para la teoría de categorías superiores lo que EGA logró para la teoría de esquemas. (En particular, creo que también estoy argumentando que los comentarios que hacen comparaciones entre HTT y las conjeturas de Weil están de alguna manera fuera de base. En realidad me refiero a EGA).

En Récoltes et Semailles, Grothendieck describe la introducción de esquemas como una de las doce "grandes ideas" de su vida matemática. Y la definición de esquema es realmente brillante. A primera vista parece extraña e innecesariamente abstracta en comparación con la aparente simplicidad de la definición de una variedad algebraica clásica. Pero como todo el mundo sabe ahora, los esquemas en realidad te simplifican la vida como geómetra algebraico. Durante años, después de haberme acostumbrado a tratar con esquemas, he tenido pequeños momentos en los que me daba cuenta de por qué esta definición exacta es exactamente la correcta.

Pero Grothendieck no se limitó a formular la definición de esquema. También se dio cuenta de que, para que alguien pudiera utilizarlo como fundamento práctico de la geometría algebraica, habría que reconstruir todo el edificio de la geometría algebraica desde los cimientos, incluyendo muchas pruebas no triviales de afirmaciones cuyos análogos en la geometría algebraica clásica eran obvios. De ahí la necesidad de la EGA. Por supuesto, también hay teoremas nuevos e importantes en EGA, como el teorema de las funciones formales, pero cuando la gente dice que es un logro monumental se refiere a que consiguió reconstruir útilmente la geometría algebraica desde cero. En un mundo hipotético en el que Grothendieck hubiera defendido la noción de esquema pero EGA nunca se hubiera escrito, los geómetras algebraicos habrían seguido trabajando exclusivamente con variedades a lo largo de los años, aunque algunos expertos hubieran sido conscientes de que deberían ser posibles algunos fundamentos mejores.

Esto es más o menos lo que ocurrió en la teoría de la homotopía. Boardman-Vogt definió la noción de complejo Kan débil (cuasicategoría) como modelo de la teoría de homotopía ya en 1973. Ahora comprendemos que se trata sólo de un modelo para la teoría de $\infty$ -categorías, pero creo que es justo decir que, comparado con todos los demás modelos, llama la atención por su radical simplicidad (como la definición de un esquema). Pero después de Boardman-Vogt pasó muy poco durante mucho tiempo. Y sin restar importancia al trabajo de Joyal y otros, creo que es justo decir que la Teoría de Topos Superiores representó por primera vez una reelaboración de todo el edificio de la teoría de categorías y de la teoría de homotopías en el lenguaje de las cuasicategorías, hasta el punto de que otras personas pudieran utilizarla de forma significativa como teoría sin tener que elaborar una enorme cantidad de material fundacional para siquiera despegar. Y al igual que los esquemas, el papel de las cuasicategorías es hacerte la vida más sencilla. Obviamente, los teóricos de la homotopía siguen utilizando, por ejemplo, categorías modelo (como los geómetras algebraicos siguen utilizando variedades), pero creo que es justo decir que, a estas alturas, la introducción de las $\infty$ -ha reconfigurado la teoría de la homotopía hasta el punto de que nadie en este campo puede ignorarlas y seguir trabajando como antes de Laurie. Este es el logro de HTT, más que cualquier teorema específico del libro.

Pero puedo ver que esto es "difícil de vender" para los forasteros, y creo que es justo decir que la teoría de categorías superiores no ha visto ninguna aplicación tan notable como la prueba de las conjeturas de Weil. (Por otro lado, parece injusto hacer una comparación con uno de los mayores logros de las matemáticas del siglo XX; no es el rasero que solemos aplicar al juzgar las nuevas matemáticas). Aunque todos los días se publica en el arXiv un preprint en el que se muestra el uso práctico de la teoría de categorías superiores, la mayoría de estas aplicaciones no son aplicaciones en el sentido en que se las conoce. no pudo se han escrito sin la $\infty$ -formalismo categórico, sino que permiten pruebas más conceptuales de enunciados más sólidos. Como ejemplo particular, consideremos la "Geometrización de la correspondencia local de Langlands" de Fargues-Scholze. Se trata, evidentemente, de un trabajo espectacular. También utiliza $\infty$ -categorías de forma seria. Pero ¿podría haberse escrito sin $\infty$ -¿Categorías? Mi conjetura: probablemente sí, al menos la mayor parte, pero quizá no las partes sobre módulos sólidos (y entonces con complicaciones al tratar con coeficientes adic). Y sólo a costa de más complicaciones.

Dudo un poco si añadir algo más a las exhaustivas respuestas existentes, pero espero que esto también sea de algún valor.