extendiendo un operador lineal acotado

Question

Así que tengo una pregunta de deberes que no tengo ni idea de cómo empezar.

Sea $E_0$ sea un subespacio denso del espacio normado $E$ . Sea $T_0:E_0 \rightarrow F$ sea un operador lineal acotado en el espacio de Banach $F$ .

(i) Demuestre que $T_0$ puede extenderse de forma única a un operador lineal acotado $T:E \rightarrow F$ .

(ii) Demuestre que $\|T\| = \|T_0\|$ .

Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

SUGERENCIA: Imagine por un momento que una extensión $T$ de $T_0$ existe y toma $x\in E\setminus E_0$ . Desde $E_0$ es denso, se puede aproximar $x$ con una secuencia $x_n\in E_0$ . Dado que nuestro operador "imaginario" $T$ es continua, debe cumplirse que $$\tag{1}Tx=\lim_{n\to \infty} T_0 x_n.$$ Ahora vuelve a la realidad, donde $T$ aún no existe. Hay que construirla. La fórmula (1) te da un candidato obvio, pero tienes que comprobar que tiene sentido en todos los puntos $x\in E$ y que es independiente de la elección de una secuencia de aproximación $x_n$ .

EDITAR . Никита Васильев pidió más detalles en la sección de comentarios. Ok, aquí están; queremos (1) para ser una definición coherente de un operador $T\colon E\to F$ . Para ello, necesitamos dos cosas; primero, que el límite exista, y segundo, que si elegimos otra secuencia $x_n'\in E_0$ tal que $x_n'\to x$ entonces $$\tag{2} \lim_{n\to \infty} T_0x_n'= \lim_{n\to \infty} T_0 x_n.$$ Para demostrar lo primero, observamos que la acotación de $T_0$ da $$ \lVert T_0x_n-T_0 x_m\lVert \le C\lVert x_n-x_m\rVert.$$ De ello se deduce inmediatamente que $(T_0 x_n)$ es Cauchy, porque $x_n$ es. Y como $F$ es completa, esto asegura que el límite existe. Para demostrar lo segundo, observamos que $$ \lVert T_0 x_n- T_0x_n'\lVert\le C\lVert x_n-x_n'\rVert; $$ ahora, ya que $x_n$ y $x_n'$ convergen al mismo límite, $\lVert x_n-x_n'\rVert\to 0$ . Concluimos que $\lVert T_0x_n-T_0x_n'\rVert\to 0$ lo que implica inmediatamente (2).

Answer 2

Las nociones generales en este ámbito son el concepto de operador cerrable y el teorema del grafo cerrado. Este asunto se trata en la obra de Kato "Perturbation Theory of Linear Operators". Aquí la acotación simplifica las cosas. Véase el problema 5.17 en la página 166 (segunda edición corregida), donde se afirma que todo operador acotado es cerrable. En el caso que nos ocupa, esto significa que $T_0$ se extiende de manera única a todos los $E$ .

Answer 3

Para (i) sólo hay una forma de extender este operador lineal. Queremos $T$ sea continua, lo que en este caso significa que siempre que $\|x_n - x\| \to 0$ entonces $\|T x_n - Tx\| \to 0$ . La unicidad debe seguirse porque las secuencias no pueden converger a dos puntos diferentes

Para (ii) intente demostrar que $$ \sup \{ \|T_0 x \| : \|x\| \leq 1 \mbox{ and } x \in E_0 \} = \sup \{ \|T x \| : \|x\| \leq 1 \mbox{ and } x \in E_0 \}. $$ Esto debería funcionar porque la idea detrás de los supremos es que ya son límites.