Matriz de rotación a partir de un eje dado

Question

Sea $T\colon\mathbb{R^3}\to\mathbb{R^3}$ denota una transformación lineal que rota por $\frac{\pi}{3}$ en el sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo del vector $u=(1,1,1)$ .

Si $T(0,1,0)=(a,b,c)$ Buscar $3a^2+b^2+c^2$ .

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Mi intento

Consideremos un plano que contiene un punto $(0,1,0)$ y utiliza $u$ como vector normal.

Entonces me : $x+y+z=1$ .

Desde $T$ es la rotación, $T(0,1,0)=(a,b,c)$ deben estar en el mismo plano $x+y+z=1$ .

Es decir $a+b+c=1$ .

Otra vez, $T$ preserva la norma del vector : $1=|(0,1,0)|=|T(a,b,c)|=a^2+b^2+c^2$ .

Entonces, tengo dos ecuaciones :

$$a+b+c=1 \\ a^2+b^2+c^2=1$$

Quiero encontrar $a, b, c$ sin encontrar la forma exacta de $T$ pero necesito una ecuación más sobre $a,b,c$ para resolver este sistema.

¿Existe alguna propiedad de la rotación que me pueda dar una ecuación más sobre $a,b,c$ ?

Answer 1

La ecuación adicional procede del ángulo de rotación.
Establecer $A=(0,1,0)$ y $B=(a,b,c)$ considere el punto de intersección del eje de rotación con el plano dado $$P_0 = \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$$ y consideremos los dos vectores $$\begin{align} u_A &= A-P_0 = \left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right) \\ u_B &= B-P_0 = \left(a-\frac{1}{3},b-\frac{1}{3},c-\frac{1}{3}\right) \\ \end{align}$$ Entonces $$\frac{u_A \cdot u_B}{\|u_A\|\|u_B\|} = \cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$$ así que $$-\frac{a-2 b+c}{\sqrt{6 \left(a^2+b^2+c^2\right)-4 (a+b+c)+2}}=-\frac{1}{2}(a-2b+c) = \frac{1}{2}$$ El sistema se convierte en $$\begin{align} & a+b+c=1 \\ & a^2+b^2+c^2 =1 \\ & a-2b+c= -1 \end{align}$$ y tiene dos soluciones. La correcta viene determinada por la información en sentido contrario a las agujas del reloj, que podría formalizarse mediante la condición $$u_A \times u_B \cdot u > 0$$

Answer 2

La fórmula de la matriz de rotación de Rodrigues establece que

$R = {a a}^T + (I - {a a}^T) \cos \theta + S_a \sin \theta$

donde $a$ es el vector unitario del eje, y

$S_a = \begin{bmatrix} 0 && - a_z && a_y \\ a_z && 0 && -a_x \\ -a_y && a_x && 0 \end{bmatrix}$

Multiplicar esta matriz por $e_2 = [0, 1, 0]^T$ para obtener

$[a, b, c]^T = {a a}^T e_2 + (I - {a a}^T) e_2 \cos \theta + S_a e_2 \sin \theta$

El resto es sólo computación, tenemos

${a a}^T = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \end{bmatrix}$

$I - {a a}^T = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 && -1 && -1 \\ -1 && 2 && -1 \\ -1 && -1 && 2 \end{bmatrix}$

$S_a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 0 && -1 && 1 \\ 1 && 0 && -1 \\ -1 && 1 && 0 \end{bmatrix}$

Por lo tanto,

$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$

Por lo tanto, $3 a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{1}{36} (12 + 16 + 16) = \dfrac{44}{36} = \dfrac{11}{9}$

Answer 3

Otro enfoque ad hoc. Pasar al plano $x+y+z=1$ donde tiene lugar la acción, podemos ver que $(0,1,0)$ gira alrededor de $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$ dentro del plano por el ángulo $\frac{\pi}3$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

Por definición de $T$ tenemos

• El ángulo $\angle (0,1,0),\left(\frac13, \frac13, \frac13\right),(a,b,c)$ es igual a $\frac{\pi}3$ ,
• Las distancias desde $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$ a los puntos $(a,b,c)$ y $(0,1,0)$ son iguales.

$\hspace{2.5cm}$

De ello se deduce que el triángulo con vértices $(0,1,0),\left(\frac13, \frac13, \frac13\right),(a,b,c)$ es equilátero, por lo que $$\begin{align} \left(a-\frac13\right)^2 + \left(b-\frac13\right)^2 + \left(c-\frac13\right)^2 &= d\left(\left(\frac13, \frac13, \frac13\right), (a,b,c)\right)^2 \\ &= d\left((0,1,0),(a,b,c)\right) \\ &= a^2+(b-1)^2+c^2 \end{align}$$ que equivale a $a-2b+c=1$ Así que esta es tu tercera ecuación como dice @enzotib.

Puedes simplificar aún más el sistema de ecuaciones si demuestras que el triángulo con vértices $(0,0,1),\left(\frac13, \frac13, \frac13\right),(a,b,c)$ también es equilátero (y por tanto congruente con el anterior) por lo que en particular tenemos $$(a-1)^2+b^2 + c^2 = d((0,0,1),(a,b,c)) = d((0,1,0),(a,b,c)) = a^2+(b-1)^2+c^2$$ lo que implica inmediatamente $a=b$ eliminando una de las soluciones.