Rudin's Principios del análisis matemático tiene la siguiente definición de compacto :
Un subconjunto $K$ de un espacio métrico $X$ se dice compacto si cada cubierta abierta de $K$ contiene un finito subcubierta. Más explícitamente, el requisito es que si { $G_{\alpha}$ } es una cubierta abierta de $K$ entonces hay un número finito de índices $\alpha_1,...,\alpha_n$ tal que $$K\subset G_{\alpha_{1}}\cup\, ...\cup \, G_{\alpha_{n}}.$$
También tiene la siguiente prueba:
Teorema : Los subconjuntos compactos de espacios métricos son cerrados.
Prueba : Sea $K$ sea un subconjunto compacto de un espacio métrico $X$ . Demostraremos que el cumplido de $K$ es un subconjunto abierto de $X$ .
Supongamos que $p\in X$ , $p\notin K$ . Si $q\in K$ , dejemos que $V_q$ y $W_q$ sean vecindades de $p$ y $q$ respectivamente, con un radio inferior a $\frac{1}{2}d(p,q)$ . Desde $K$ es compacto, hay un número finito de puntos $q_1,...,q_n$ en $K$ tal que $$K\subset W_{q_{1}}\,\cup\, ...\cup W_{q_{n}}=W.$$ Si $V=V_{q_{1}}\cap\,...\cap V_{q_{n}}$ entonces $V$ es una vecindad de $p$ que no intersecte $W$ . Por lo tanto $V\subset K^c$ de modo que $p$ es un punto interior de $K^c$ . El teorema es el siguiente.
Puede que sea una tontería, pero no se me ocurre ninguna razón por la que las colecciones de barrios tengan que ser finitas. En otras palabras, no parece importar que $K$ es compacto. Obviamente no es cierto que todo subconjunto de un espacio métrico sea cerrado, así que ¿qué me estoy perdiendo?
