Primaria topoi han inicial de los objetos, ¿por qué?

Question

Primaria topos es una categoría que:

1. tiene límites finitos
2. es cartesiana cerrada
3. tiene un subobjeto de clasificador

y se puede demostrar que (con un poco de esfuerzo) que ha finito colimits.

Es allí, a partir de los axiomas, de una manera rápida y fácil de ver que tiene una primera objeto? ¿Qué parte de que los axiomas son realmente necesarios para demostrar esto?

Motivación: en ocasiones las personas que discutir si debe haber un mapa de $\emptyset \to \emptyset$. Si no, entonces tenemos que dejar de hablar sobre el vacío "set" y $\mathsf{Set}$ no tiene un objeto inicial, por lo tanto no puede ser un topos. Quiero ver qué parte de los axiomas anteriores se violada por que, es decir, cómo $\mathsf{Set}$ deja de ser un topos.

Answer 1

Creo que se puede construir el objeto inicial elementarily en los pasos siguientes, que no tienen conocimientos acerca de monadicity necesario.

1. Recordar que se puede definir para cualquier objeto $A$ la cuantificación universal operador $\forall_A : \Omega^A \to \Omega$ como la clasificación de los morfismos de la subobjeto $1 \to \Omega^A$ con la transposición dado por $1 \times A \to 1 \xrightarrow{t} \Omega$ donde $t$ es el universal monomorphism. (En $\mathrm{Set}$, para una familia $f : A \to \Omega$ de los valores de verdad, $\forall_A(f)$ es el valor de verdad de $\forall x \in A{:}\ f(x)$.)

2. En particular, podemos construir el elemento global de $\Omega$ que denota la falsedad como la composición de la $1 \to \Omega^\Omega \xrightarrow{\forall_\Omega} \Omega$ donde $1 \to \Omega^\Omega$ es la transpuesta de a $\Omega \xrightarrow{\mathrm{id}} \Omega$. (En $\mathrm{Set}$, este elemento es el valor de verdad de $\forall \varphi \in \Omega{:}\ \varphi$, es decir,$\bot$.)

3. Obtenemos entonces el objeto inicial como el subobjeto clasificados por este morfismos.

Para comprobar que el objeto construido, de hecho es el objeto inicial, usted probablemente necesitará saber el universal propiedad de $\forall_A$. Se da, con prueba plena, en Teorema 13.3 de Thomas Streicher hermosas notas sobre la categoría de la teoría y la lógica categórica.

Answer 2

No sé de ninguna manera rápida y fácil de ver. Sin embargo, Johnstone del Topos de la Teoría tiene una razonablemente buena discusión de por qué con el Lema 1.31, Teorema 1.34, y el Corolario de 1,36.

La idea central es que el functor $\Omega^-:\mathcal{E}^{op}\to\mathcal{E}$ en un topos es monádico, y por lo tanto crea todos los límites. Esto termina lo que significa que $\mathcal{E}^{op}$ tiene todos los límites finitos debido a $\mathcal{E}$ lo hace; pero $\mathcal{E}^{op}$ tiene límites finitos exactamente al $\mathcal{E}$ ha finito colimits.

Edit: Para redondear la respuesta un poco más, puedo incorporar a mi comentario de que la prueba usual para un finito cocompleteness se basa en los tres axiomas de una forma esencial. Para aplicar Beck, el teorema de a $\Omega^-$ uno debe mostrar, principalmente, $\mathcal{E}^{op}$ ha coequalisers de reflexiva pares, y uno se queda con estos por la presencia de aquellos que igualan en $\mathcal{E}$. Una muestra que estos coequalisers se conservan mediante el Beck-Chevalley condición para $\Omega^-$, que se basa en el subobjeto clasificador universal de los bienes. Y por último, si usted no tiene todos los límites finitos, nada de esto le da todas finito colimits. Sí, en la reflexión, parece que "ha sintonizadores de coreflexive pares" se podría reemplazar el "finito" límites de la condición de si todo lo que quieres es un objeto inicial, aunque.

Por lo tanto, si $\mathbf{Set}$ fueron de alguna manera la falta de un objeto inicial, nuestra interpretación de éste como una categoría que se necesita

• fallar en coordenadas Cartesianas de cierre,
• no tienen algunos sintonizadores (y por lo tanto también fallan en lo finito integridad),
• o no tienen un subobjeto clasificador.

Cualquiera de estos sería muy difícil de tragar, y alguien que quería negar el conjunto vacío trabajado como un objeto inicial tendrían la carga de explicar lo que los objetos y morfismos son en su categoría de conjuntos.

Answer 3

Esquema: Un límite explícito de la construcción de la inicial del objeto es contenida por ejemplo en Moerdijks-MacLane de Poleas en la Geometría y la Topología. Voy a recordar esta construcción y esperemos que sostienen elementarily que, de hecho, se describe un objeto inicial. Primaria significa que puede ser formalizado en el primer orden de teoría de elementar topoi.

Construcción: Deje ${\mathscr E}$ ser primaria, topos con poder functor $P: {\mathscr E}\to {\mathscr E}^{\text{op}}$ y subobjeto clasificador $\Omega=P1$ . Además, denotan $\varepsilon_X: X\to P^2 X$ el mapa corresp. para la evaluación de la $X\times PX\to \Omega$ corresp. para el subobjeto $\in_X\in\text{Sub}(X\times PX)$, e $!: P^2 1 \to 1$ el único de morfismos.

Reclamo: El ecualizador de $\varepsilon_{\Omega}, P!: P1\rightrightarrows P^3 1$ es un objeto inicial en ${\mathscr E}$.

Prueba: Vamos a $X\in {\mathscr E}$ ser cualquier objeto de admitir a una de morfismos $f: X\to P1=\Omega$ tal que $$\varepsilon_{\Omega} \circ f = P!\circ f: X\to P^3 1.$$ I claim that $X$ is initial in ${\mathscr E}$. (Nota: Esto parece más fuerte que el reclamo, pero no lo es, ya que en cualquier topos cualquier morfismos del objeto inicial es un isomorfismo; en realidad, este es un producto secundario de nuestra prueba)

Denotar $\chi: A\hookrightarrow X$ el subobjeto de $X$ correspondiente a $f$ y considerar la natural bijection $${\mathscr E}(X,P^3 1)\ \cong\ \text{Sub}_{\mathscr E}(X\times P^2 1=X\times P\Omega).$$ IfI didn't mix up things again, under this bijection the morphism $\varepsilon_\Omega\circ f$ corresponds to the pullback of $\in_\Omega$ along $\chi\times\text{id}: X\times P\Omega\a \Omega\times P\Omega$. On the other hand, the morphism $P!\circ f$ corresponds to $\times P\Omega\stackrel{\chi\times\text{id}} {\,} X\times P\Omega$. Intuitively, the first subobject contains those $(x,T)$ where the set $T$ of truth values contains the truth value of the statement that $x\in X$ belongs to $T$; the second contains those $(a,T)$ for $\en$ and any set of truth values $T$.

Para ver que esto obliga a $X=0$, considera en primer lugar una tercera subobjeto de $X\times P\Omega$, es decir, la gráfica de $X\to \Omega\to P\Omega$ donde $\Omega\to P\Omega$ es singleton mapa. Intuitivamente, es el conjunto de $(x,\{\chi(x)\})$, es decir, el conjunto $T$ contiene exactamente el valor de verdad de $x$ pertenecientes a $A$. Este subobjeto está contenida en el subobjeto correspondiente a la l.h.s., por lo tanto, también en $A\times P\Omega$. Proyectar sobre el primer factor que se revela a $A=X$, por lo tanto subobjetos son, de hecho, la totalidad de $X\times P\Omega$. Apelando a la intuitiva descripción de la l.h.s. de nuevo, esto significaría que en el contexto de $X$', cualquier conjunto de valores de verdad contiene $1$.

Vamos a tratar de formalizar esta diciendo que ${\mathscr E}/_X$ es trivial: una revisión formal de la descripción de la l.h.s. subobjeto de $X\times P\Omega$$A=X$, podemos ver que el mapa de $X\times P\Omega\xrightarrow{\text{eval}_1\circ\pi_{P\Omega}} \Omega$ factores a través de $1\to\Omega$. La restricción a singleton-conjuntos de $s: \Omega\hookrightarrow P\Omega$ y el uso de ese $\text{eval}_1\circ s = \text{id}_{\Omega}$, podemos ver que $X\times 1\to X\times \Omega$ es un isomorfismo.

Este mapa, sin embargo, es el universal monic en el topos ${\mathscr E}/_X$ - siendo este un isomorfismo implica que la única subobjetos son las identidades, por lo tanto ${\mathscr E}/_X$ es trivial. Finalmente, la trivialidad de la ${\mathscr E}/_X$ implica que el $X$ inicial: si $f,g: X\rightrightarrows Y$ son dos flechas paralelas, entonces su ecualizador $K\to X$ puede ser considerado como un morfismos en ${\mathscr E}/_X$, por lo que es un isomorfismo, por lo $K=X$$f=g$.

Edit: Para mostrar que no existe una morfismos $X\to Y$ cualquier $Y$, tenga en cuenta que $X\times Y\to X$ puede ser visto como un morfismos en ${\mathscr E}/_X$, por lo tanto es un isomorfismo, y su inversa da lugar a un morfismos $X\to Y$.

Tenga en cuenta que estas argumento puede ser explícito en el primer orden de la teoría de los topoi, evitando 'salir' de ${\mathscr E}$.

Answer 4

Para el caso específico de la categoría de conjuntos no vacíos:

Considere los conjuntos de $\{0\}, \{0, 1\}, \{1\}$ y los mapas $$f: \{0\}\rightarrow\{0, 1\}: 0\mapsto 0$$ and $$g:\{1\}\rightarrow\{0, 1\}: 1\mapsto 1.$$ The diagram formed by $f$ and $g$ can only have $\emptyset$ as a limit: indeed, given any set $$ and maps $' f:\rightarrow \{0\}$, $g':\rightarrow\{1\}$, we have $f\circ f'=g\circ g'$ iff $$ Está vacía.

En particular, tenga en cuenta que no estamos usando la característica universal de los límites de aquí: la categoría de conjuntos no vacíos ni siquiera satisfacer a los más débiles "desplazamientos de los conos" de la propiedad,

"Por cada finito diagrama de $D$, no es un objeto $A$ y morfismos $m_X$ $A$ a cada objeto $X$ $D$ tales que para cada uno de los morfismos $f: X\rightarrow Y$ en $D$, $f\circ m_X=m_Y$."

Answer 5

$\text{Sub}(1) \cong \hom(1, \Omega)$.

Si $1$ no tiene adecuada subobjetos, entonces no son exclusivos de los mapas de $1 \to \Omega$$\Omega \to 1$, por lo que debe ser recíproca, que conduce a la horrible situación en la que el subobjeto clasificador es terminal!

Esto implica que no hay subobjetos de cualquier objeto. Cada ecualizador debe ser invertible! Cada par de flechas paralelas debe ser igual!! Todos los morfismos es monic!!! Deducimos que la categoría es equivalente a la terminal de la categoría. (y, de paso, por lo tanto tiene un objeto inicial)

Esta observación no es suficiente para demostrar que un objeto inicial existe, pero demostrando que $1$ deben disponer de un subobjeto en una degenerada de topos podría ser suficiente para sus propósitos.