¿Puedo identificar de forma unívoca un poliedro convexo y cerrado dado el número de lados de cada cara?

Question

Para su información, procedo de la informática y los gráficos por ordenador, por lo que es posible que mi terminología no sea precisa al 100%.

Tengo una colección de poliedros que me gustaría descomponer en tetraedros. En lugar de utilizar un algoritmo de propósito general para cualquier poliedro, me gustaría crear un algoritmo que sea más eficiente porque sabe algo sobre la forma.

Para simplificar, supongamos que cada poliedro es cerrado y convexo. Si enumero el número y tipo de cada una de las caras de un poliedro (por ejemplo, un tetraedro tiene 4 caras de 3 lados y un prisma hexagonal tiene 2 caras de 6 lados y 6 caras de 4 lados), ¿es suficiente para identificarlo unívocamente?

(Si hay alguna palabra especial para "identificarlo de forma única", por favor, hágamelo saber)

Answer 1

El término sería: poliedros combinatoriamente equivalentes (si están estructurados de forma similar).

No basta con la información de las caras. Si sabemos que todas sus caras son triángulos ( $f$ de ellas), entonces el número de aristas es $e=3f/2$ Así que $$f + v = 3f/2+ 2$$ lo que determina el número de aristas y el número de vértices. Pero la estructura puede ser diferente. Como ejemplo, empecemos con un tetraedro, y levantemos cada cara con otras tres caras triangulares. Obtenemos un poliedro con $f=12$ caras, todas triangulares. Tenemos $v=8$ y $e=18$ .

Otro poliedro con $12$ Se pueden obtener caras triangulares uniendo en la base dos pirámides de base hexagonal. Otra vez, $v=8$ , $e=18$ .

Sin embargo, si nos fijamos en el número de aristas que salen de cada vértice, son para el primer poliedro $$3,3,3,3,6,6,6,6$$ mientras que para el segundo $$4,4,4,4,4,4,6,6$$ por lo que los poliedros no son combinatoriamente equivalentes.

Una condición necesaria y suficiente para que dos poliedros sean comtinatoriamente equivalentes es que los grahs formados con los vértices y las aristas sean isomorfos. ( claramente necesario). Véase también Correo electrónico: .