zeta(3) en la Sección 153 de Euler

Question

Jeffery Lagarias, en su reciente artículo La constante de Euler: la obra de Euler y la evolución moderna en el Boletín de la AMS, menciona que Euler obtuvo $\zeta(3)={{2\pi^3 b(3/2)}\over 3}$ para alguna "función Bernoulli" $b(z)$ en la sección 2.4 ("Valores zeta") de su artículo.

Lagarias también menciona que Euler obtuvo de forma similar un valor para $\zeta(5)$ en términos de $b(5/2)$ .

¿Existe algún artículo moderno que explique esta "función de Bernoulli $b(z)$ ?

Answer 1

Quizá este documento le sea útil: http://arxiv.org/abs/1005.2733 (Donal F. Connon, A generalisation of the Bernoulli numbers from the discrete to the continuous).

Answer 2

He encontrado algo en Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Integral_representation_and_continuation Está escrito que $$ b\left( s \right) = 2e^{\frac{\pi }{2}is} \int_0^{ + \infty } {\frac{{st^s }}{{1 - e^{2\pi t} }}\frac{{dt}}{t}} $$ y $b\left( {2n} \right) = B_{2n}$ para cualquier $n>0$ donde $B_k$ es el $k$ número de Bernoulli. También $$ \zeta \left( 3 \right) = \frac{{2\pi ^3 b\left( 3 \right)}}{{3i}},\quad \zeta \left( 5 \right) = \frac{{2i\pi ^5 b\left( 5 \right)}}{{15}} . $$