¿Escribir la divergencia como "producto punto" es un engaño?

Question

Supongamos que tenemos el siguiente campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ :

$$\vec{F}(x,y,z) = F_x \hat{x}+F_y \hat{y}+F_z \hat{z}$$

donde $\hat{x}$ , $\hat{y}$ y $\hat{z}$ son vectores unitarios en cada una de las direcciones de un sistema de coordenadas cartesianas, y $F_x$ , $F_y$ y $F_z$ son algunas funciones escalares de $x$ , $y$ y $z$ .

Equivalentemente, en coordenadas esféricas,

$$\vec{F}(r,\theta,\phi) = F_r \hat{r}+F_\theta \hat{\theta}+F_\phi \hat{\phi}$$

donde $\hat{x}$ , $\hat{y}$ y $\hat{z}$ se han transformado en $\hat{r}$ , $\hat{\theta}$ y $\hat{\phi}$ utilizando las relaciones aquí y $F_r$ , $F_\theta$ y $F_\phi$ son algunas combinaciones de $F_x$ , $F_y$ y $F_z$ que resultan de esta transformación.

Mi pregunta es sobre la derivación de la fórmula para la divergencia de este campo vectorial en coordenadas esféricas. La divergencia se suele escribir como

$$Div(\vec{F})=\vec{\nabla} \cdot \vec{F}$$

Un enfoque que puedo adoptar para obtener la fórmula es el siguiente aquí donde reescribo

$$Div(\vec{F})=\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

y convertir $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \phi}$ y $F_x(x,y,z)=F_x(r,\theta,\phi)$ etc. Entonces, finalmente obtengo la fórmula correcta:

$$Div(\vec{F}) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial (F_\theta \sin(\theta))}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$$

Sin embargo, me gustaría saber por qué no funciona lo siguiente . Puedo reescribir el operador de gradiente como:

$$\vec{\nabla} =\frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z} = \frac{\partial}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}$$

Entonces:

$$Div(\vec{F}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = (\frac{\partial}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi} \hat{\phi}) \cdot (F_r \hat{r}+F_\theta \hat{\theta}+F_\phi \hat{\phi})$$

Por último, utilizando las relaciones entre los vectores unitarios para un sistema de coordenadas ortogonales (p. ej. $\hat{r} \cdot \hat{\theta} = 0$ , $\hat{\phi} \cdot \hat{\phi} = 1$ etc.), termino con

$$Div(\vec{F}) = \frac{\partial F_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$$

que no es la fórmula correcta.

Me gustaría saber dónde está mi fallo, y si esta "notación del producto punto" para la divergencia sólo es aplicable cuando se evalúa en el sistema cartesiano. Y, si es así, ¿por qué?

Answer 1

$ \newcommand\PD[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}} \newcommand\dd{\mathrm d} $

Es aplicable a cualquier sistema de coordenadas. Lo que te falta es que $\hat r, \hat\theta, \hat\phi$ no son constantes y varían a lo largo del espacio. Esta es también la razón por la que no elegir escribir $$ \nabla = \PD{}r\hat r + \frac1r\PD{}\theta\hat\theta + \frac1{r\sin\theta}\PD{}\phi\vec\phi $$ y en su lugar escribiría $$ \nabla = \hat r\PD{}r + \frac1r\hat\theta\PD{}\theta + \frac1{r\sin\theta}\vec\phi\PD{}\phi. $$ Qué debemos escribir al evaluar $\nabla\cdot\vec F$ es $$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec F &= \left(\hat r\PD{}r + \frac1r\hat\theta\PD{}\theta + \frac1{r\sin\theta}\vec\phi\PD{}\phi\right)\cdot(F_r\hat r + F_\theta\hat\theta + F_\phi\hat\phi) \\ &=\begin{aligned}[t] &\hat r\cdot\PD{}r(F_r\hat r) + \vec r\cdot\PD{}r(F_\theta\hat\theta) + \vec r\cdot\PD{}r(F_\phi\hat\phi) \\ &+ \frac1r\hat\theta\cdot\PD{}\theta(F_r\hat r) + \frac1r\hat\theta\cdot\PD{}\theta(F_\theta\hat\theta) + \frac1r\hat\theta\cdot\PD{}\theta(F_\phi\hat\phi) \\ &+ \frac1{r\sin\theta}\hat\phi\cdot\PD{}\phi(F_r\hat r) + \frac1{r\sin\theta}\hat\phi\cdot\PD{}\phi(F_\theta\hat\theta) + \frac1{r\sin\theta}\hat\phi\cdot\PD{}\phi(F_\phi\hat\phi). \end{aligned} \end{aligned}$$ A continuación, aplicamos la regla del producto y utilizamos los siguientes hechos:

1. $\hat r, \hat\theta, \hat\phi$ son independientes de $r$ .
2. $\partial/\partial\theta$ y $\partial/\partial\phi$ aplicado a $\hat v = \hat r, \hat\theta, \hat\phi$ producir algo ortogonal a $\hat v$ .
3. Por supuesto, $\hat r, \hat\theta, \hat\phi$ forman una base ortogonal.

De aquí obtenemos $$\begin{aligned} &\PD{F_r}r \\ &+ \frac{F_r}r\hat\theta\cdot\PD{\hat r}\theta + \frac1r\PD{F_\theta}\theta + \frac{F_\phi}r\hat\theta\cdot\PD{\hat\phi}\theta \\ &+ \frac{F_r}{r\sin\theta}\hat\phi\cdot\PD{\hat r}\phi + \frac{F_\theta}{r\sin\theta}\hat\phi\cdot\PD{\hat\theta}\phi + \frac1{r\sin\theta}\PD{F_\phi}\phi. \end{aligned}$$ Recordemos que $$\begin{aligned} \hat r &= (\sin\theta)(\cos\phi)\hat x + (\sin\theta)(\sin\phi)\hat y + (\cos\theta)\hat z, \\ \PD{\hat r}\theta = \hat\theta &= (\cos\theta)(\cos\phi)\hat x + (\cos\theta)(\sin\phi)\hat y - (\sin\theta)\hat z, \\ \PD{\hat r}\phi = (\sin\theta)\hat\phi &= -(\sin\theta)(\sin\phi)\hat x + (\sin\theta)(\cos\phi)\hat y. \end{aligned}$$ Esto nos permite evaluar los productos punto restantes para obtener $$\begin{aligned} &\PD{F_r}r \\ &+ \frac{F_r}r + \frac1r\PD{F_\theta}\theta \\ &+ \frac{F_r}r + \frac{F_\theta\cot\theta}r + \frac1{r\sin\theta}\PD{F_\phi}\phi, \end{aligned}$$ o escrito en una línea $$ \nabla\cdot\vec F = \PD{F_r}r + 2\frac{F_r}r + \frac1r\PD{F_\theta}\theta + \frac{F_\theta\cot\theta}r + \frac1{r\sin\theta}\PD{F_\phi}\phi. $$ Si se compara con la expresión estándar $$ \nabla\cdot\vec F = \frac1{r^2}\PD{}r(r^2F_r) + \frac1{r\sin\theta}\PD{}\theta(F_\theta\sin\theta) + \frac1{r\sin\theta}\PD{F_\phi}\phi, $$ verás que son iguales.

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Editar para, con un poco de suerte, responder a la pregunta de 5Pack en los comentarios:

He aquí otra perspectiva. Sin pretender ser demasiado rigurosos, podemos definir la divergencia en un geométrico, sin coordenadas manera como $$ \nabla\cdot\vec F(\vec p) = \lim_{R_{\vec p}\to0}\frac1{|R_{\vec p}|}\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)\cdot\vec F(\vec q)\,\dd S. \tag{$ * $} $$ El límite se toma de forma que la región del espacio $R_{\vec p}$ que contiene el punto $\vec p$ se reduce en torno a $\vec p$ a volumen cero; $|R_{\vec p}|$ es el volumen de la región. La integral se toma sobre la frontera $\partial R_{\vec p}$ de esta región; $\vec q$ es la variable de integración, $\hat n(\vec q)$ es la normal unitaria al exterior de $\partial R_{\vec p}$ en $\vec q$ y $\dd S$ es el elemento de superficie. Para que quede claro, en coordenadas cartesianas $$ \dd S = \dd x\,\dd y\,\dd z,\quad \vec q = x\hat x + y\hat y + z\hat z, $$ y en coordenadas esféricas $$ \dd S = r^2(\sin\theta)\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi, $$$$ \vec q = r\hat r(r, \theta, \phi) = r(\sin\theta)(\cos\phi)\hat x + r(\sin\theta)(\sin\phi)\hat y + r(\cos\theta)\hat z. $$

Interpretar ( $*$ ), piense en el caso en que $R_{\vec p}$ es una esfera infinitesimal centrada en $\vec p$ . Podemos escribir $$ |R_{\vec p}| = (\epsilon/3)(4\pi\epsilon^2) = \frac\epsilon3\sigma $$ donde $\epsilon$ es infinitesimal y $\sigma$ es la superficie de $R_{\vec p}$ . Escribimos $$ \nabla\cdot\vec F \approx \frac3{\epsilon}\frac1\sigma\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)\cdot\vec F(\vec q)\,\dd S. \tag{$ ** $} $$ $\hat n$ es un vector unitario que se aleja de $\vec p$ así que $\hat n\cdot\vec F$ es cuánto $\vec F$ se aleja de $\vec p$ . La integral $\frac1\sigma\oint_{\partial R_{\vec p}}\dd S$ es la media de $\partial R_{\vec p}$ por lo que toda la integral en ( $**$ ) es el importe medio que $\vec F$ se aleja desde el punto $\vec p$ . Esta media se toma sobre una esfera de radio $\epsilon$ y dividimos por $\epsilon$ por analogía con las derivadas 1D. (En realidad podemos aplicar un análogo de ( $*$ ) en el espacio 1D, y recuperar la derivada habitual. Dos puntos limitan una línea y forman una esfera 0D). El factor de $3$ es el resultado de hacer todo esto en el espacio tridimensional.

Esperemos que esto le convenza de que ( $*$ ) es una representación razonable de la divergencia. Pero ahora considere lo que significaría utilizar el método que usted sugiere, donde $$ \nabla\cdot\vec F \overset ?= \PD{F_r}r + \frac1r\PD{F_\theta}\theta + \frac1{r\sin\theta}\PD{F_\phi}\phi. $$ Esto sería lo mismo que decir que $$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec F(\vec p) &= \lim_{R_{\vec p}\to0}\frac1{|R_{\vec p}|}\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)\cdot\vec F(\vec q)\,\dd S \\ &= \lim_{R_{\vec p}\to0}\frac1{|R_{\vec p}|}\oint_{\partial R_{\vec p}} \hat n(\vec q)\cdot\left( F_r(\vec q)\hat r(\vec q) + F_\theta(\vec q)\hat\theta(\vec q) + F_\phi(\vec q)\hat\phi(\vec q) \right)\dd S \\ &\overset?= \lim_{R_{\vec p}\to0}\frac1{|R_{\vec p}|} \begin{aligned}[t]\Biggl( &\hat r(\vec p)\cdot\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)F_r(\vec q)\,\dd S \\ &+ \hat\theta(\vec p)\cdot\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)F_\theta(\vec q)\,\dd S \\ &+ \hat\phi(\vec p)\oint_{\partial R_{\vec p}}\hat n(\vec q)F_\phi(\vec q)\,\dd S \Biggr).\end{aligned} \end{aligned}$$ Con suerte, sin embargo, es obvio que esto no tiene sentido; ¿por qué se nos permitió tirar mágicamente de $\hat r(\vec q), \hat\theta(\vec q), \hat\phi(\vec q)$ fuera de la integral, y tratarlos como si fueran constantes?

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Esta es la moraleja de la historia: $\hat r, \hat\theta, \hat\phi$ son no constante por lo que no podemos tratarlos como tales. $\nabla\cdot\vec F$ es calcular la variación de $\vec F$ ; no le importa cómo $\vec F$ se expresa. Cuando escribimos $\vec F = F_r\hat r + F_\theta\hat\theta + F_\phi\hat\phi$ entonces estamos poniendo algo de esa variación en $\hat r, \hat\theta, \hat\phi$ y no podemos ignorarlo.