Estimación de Schauder para la ecuación del calor en variedades compactas

Question

Hice esta pregunta en math.stackexchange.com, pero no obtuve ninguna respuesta, así que lo intentaré aquí.

Sea $M$ sea una variedad compacta sin límites. Consideremos $Lu:=\partial_tu-\Delta u$ . Sea $f\in C^{0,0,\alpha}((0,T)\times M,\mathbb{R})$ , $u_0\in C^{2,\alpha}(M,\mathbb{R})$ y que $u\in C^{1,2,\alpha}((0,T)\times M,\mathbb{R})$ sea la solución única de

$$ \begin{cases} Lu=f \\ u(t,.)\to u_0(.) & \text{as $t\to 0$} \end{cases} $$

Aquí $C^{k,l,\alpha}$ , $C^{k,\alpha}$ son los espacios de Hölder (parabólicos) apropiados.

Entonces tenemos

$$||u||_{C^{1,2,\alpha}((0,T)\times M,\mathbb{R})}\le C(||f||_{C^{0,0,\alpha}((0,T)\times M,\mathbb{R})}+||u_0||_{C^{2,\alpha}(M,\mathbb{R})})$$

Para algunos $C>0$ independiente de $f,$ $u$ y $u_0$ .

Pregunta : ¿Es posible elegir $C$ independiente de $T$ ? Si C depende de $T$ es decir $C=C(T)$ ¿es posible elegir $C(T)$ de forma que $C(T)$ está acotado para $T\to 0$ ?

Si se sustituye $M$ por un dominio adecuado en $\mathbb{R}^n$ la respuesta a mi pregunta parece ser "Sí". Sin embargo, necesito el resultado para colectores compactos y me preguntaba si se produce algún problema.

Answer 1

La constante $C(T)$ depende de $T$ considera $f=1$ , $u_0=0$ y la solución $u=t$ . Pero está acotado para $T\to0$ . Los derechos $f\in C^{0,\alpha}([0,T]\times M)$ puede continuar hasta $\tilde f\in C^{0,0,\alpha}([0,1]\times M)$ , $||\tilde f||_{C^{0,0,\alpha}((0,1)\times M)}= |f||_{C^{0,0,\alpha}((0,T)\times M)}$ . Denotemos $\tilde u$ la solución con rhs $\tilde f$ . Entonces $$ |u||_{C^{2,1,\alpha}((0,T)\times M)}\le |\tilde u||_{C^{2,1,\alpha}((0,1)\times M)}\le $$ $$ \le C(1)(||\tilde f||_{C^{0,0,\alpha}((0,1)\times M)}+||u_0||_{C^{2,\alpha}(M,\mathbb{R})}))\le C(1) (|f||_{C^{0,0,\alpha}((0,T)\times M)}+||u_0||_{C^{2,\alpha}(M,\mathbb{R})})). $$