¿Cómo se halla el área de una región utilizando integrales dobles?

Question

¿Puede alguien ayudarme a entender cómo funcionan las integrales dobles?

Por ejemplo, considere encontrar el área de un círculo con la ecuación $x^{2} + y^{2} = 1$ . Dado que el dominio es $[-1,1]$ y el alcance es $[-1,1]$ . Creo que podemos asumir que $f(x,y) = x^{2} + y^{2} - 1$ y tenemos que evaluar $$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f\,dx\,dy.$$ Entonces, si evaluamos esta integral, obtenemos aproximadamente $-4/3$ que claramente no es el área del círculo. ¿Cuál parece ser el problema?

Answer 1

Te has equivocado $f(x,y)$ . Para calcular el área utilizando su fórmula, la función correcta es $$f(x,y)=\begin{cases}1,x^2+y^2\le 1\\0,\textrm{otherwise}\end{cases}$$ Entonces puedes reescribir tu integral como $$\int_{-1}^1dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy$$ ¿Puedes seguir desde aquí?

EDITAR

Te preguntabas cómo funcionan las integrales dobles. La intuición básica sería decir que sirven para calcular volúmenes, partiendo de la proyección de un objeto 3D sobre un plano, y conociendo la altura en la dirección perpendicular al plano. Entonces dividimos el objeto en una serie de cuboides, con la base $\Delta x$ , $\Delta y$ y altura $f(x,y)$ . Entonces el volumen es $$V=\sum_D \Delta x\Delta y f(x,y)$$ Aquí $D$ es la proyección en el plano xy. Si queremos que sea exacta, elegimos el límite donde $\Delta x, \Delta y\to 0$ y la integral doble es sólo una notación para eso: $$V=\iint_Df(x,y) dx dy$$ Entonces, ¿cómo se puede utilizar esta fórmula para calcular el área? Sólo tienes que elegir la altura $1$ por lo que el volumen es entonces $$V=\iint_D1 dxdy=1\iint_D dx dy=1\cdot A$$ donde $A$ es la superficie. Tenga en cuenta que elijo $1$ es la altura sobre el dominio $D$ para el que calculo el área. Pero si $D\subset D'$ puedo escribir la misma integral como $$V=\iint_{D'} f(x,y) dx dy$$ donde $$f=\begin{cases}1, (x,y)\in D\\0, (x,y)\in D\setminus D'\end{cases}$$

Answer 2

La idea principal es que sólo se garantiza que la integral más exterior tiene límites que van desde el valor más bajo que toma la variable hasta el más alto. Los límites de las integrales interiores pueden depender de las variables exteriores, y generalmente tienen que depender si la región no es un rectángulo.

Por ejemplo: "La región es el triángulo delimitado por $(0,0), (2,2), (0,2)$ . Halla el área usando una integral doble".

Podemos enfocar esto de dos maneras. Si elegimos $x$ como variable exterior, entonces los límites exteriores van desde $0$ a $2$ . Sin embargo, los límites interiores no van desde $0$ a $2$ porque eso daría un rectángulo, no el triángulo que queremos. Si se imagina que especifica un $x$ valor, y en el gráfico de la región trazar la línea vertical allí, se encuentra $y$ suele tener un alcance más limitado: en concreto, de $x$ hasta $2$ : $$\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} 1 dy dx$$ Ahora si en cambio integramos en el otro orden, $y$ pasará de $0$ a $2$ y $x$ ahora estará restringido. Si dibuja una línea horizontal al azar, verá que $x$ oscila entre $0$ a $y$ y ahora tenemos $$\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} 1 dx dy$$