¿Puede tener medida positiva el cierre de un conjunto discreto de números reales?

Question

Llamar a un conjunto $D\subseteq \mathbb{R}$ discreto si para cada $x\in D$ hay $\epsilon>0$ tal que $(-\epsilon,\epsilon)\cap D=\{x\}$ .

Pregunta: ¿Existe un subconjunto discreto $D\subseteq [0,1]$ tal que su cierre tiene medida de Lebesgue positiva?

Se sabe que la clausura de un conjunto discreto no es densa en ninguna parte (bajo condiciones previas adecuadas): En un espacio métrico sin puntos aislados, ¿por qué el cierre de un conjunto discreto no es denso en ninguna parte?

Sin embargo, existen conjuntos densos cerrados en ninguna parte de medida positiva (por ejemplo, los conjuntos gordos de Cantor). Pero no sé si son cierres de conjuntos discretos.

Answer 1

Sea $C\subset {\mathbb R}$ sea un conjunto de Cantor; sea ${\mathcal J}$ denotan el conjunto de intervalos complementarios de $C$ . En cada intervalo complementario $I\in {\mathcal J}$ elige un punto, $x_I\in I$ . Por último, tome $X=\{x_I: I\in {\mathcal J}\}$ . Te dejo el resto para que lo descubras.