Dos preguntas sobre la aceleración de las máquinas de Atwood

Question

Llevo bastante tiempo intentando resolver estos dos problemas, pero parece que no soy capaz de captar la diferencia entre las siguientes preguntas de aspecto similar.

Problema I
Hay una máquina de Atwood que se enfrenta a una fuerza constante hacia arriba de 50 Newtons, en el momento inicial dos masas conectadas a la máquina están en reposo en el suelo con masas 2 y 5 kilogramos respectivamente. Hallar las aceleraciones de las dos masas. La polea no tiene masa, la cuerda es ideal, la aceleración gravitatoria es $10m/s^2$ .

La respuesta dada es $0 m/s^2$ para la masa de 5 kg, y $2.5 m/s^2$ para la masa de 2 kg.

En primer lugar, mi principal problema aquí es que, ¿no deberían ser iguales las aceleraciones de las masas de 2 y 5 kg? Después de todo, en un caso más simple (donde la polea cuelga de un soporte), suponemos que las aceleraciones de ambas masas son 'a' porque son iguales en magnitud, debido a que la relación dada por el trabajo neto realizado por la tensión debe ser cero:
$ \Sigma T \cdot x = 0$
$ T \cdot x_1 + T \cdot x_2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = 0 $
$ \frac{d^2 x_1}{dx_1^2} + \frac{d^2 x_2}{dx_2^2} = 0 $
$ a_1 + a_2 = 0 => a_1 = -a_2 $
¿Por qué no se aplica al problema la misma relación anterior?

En segundo lugar, he intentado solucionar el problema de la siguiente manera: Tenemos una fuerza neta de 50N hacia arriba, hay dos tensiones (ambas iguales, T ) actuando hacia abajo. Como la polea no tiene masa, las fuerzas netas sobre ella deben sumar 0. Por tanto, la tensión debe ser de 25 N. ¿Cómo puede ser la tensión independiente de la masa de los dos objetos? ¿O es que la pregunta intenta engañarme para que crea que hay una fuerza externa actuando sobre la polea mientras que los 50 Newtons son simplemente el resultado de algo que he pasado por alto en la pregunta?

Así, una tensión de 25 N actúa hacia arriba sobre el bloque de 2 kg, mientras que una fuerza de 20 N actúa hacia abajo, lo que me da una fuerza total de 5 N hacia arriba, que me da una aceleración de $2.5 m/s^2$ . Para el bloque de 5 kg, obtengo una tensión de 25 N hacia arriba y 50 N hacia abajo, lo que me da una fuerza neta de -25 N? Por supuesto, he cometido un error.

Problema II
Una máquina de Atwood se enfrenta a una fuerza hacia arriba de 80 Newtons, de ella cuelgan dos masas de 2 kilogramos y 4 kilogramos respectivamente. ¿Cuáles serán las aceleraciones de las dos masas respecto a la polea? Mismo diagrama que el primero, excepto que con valores más nuevos.

Ahora la respuesta dada me confunde aún más, es un inocente buscando $5 m/s^2$ para ambos ¡las masas! Entiendo que la pregunta me pide encontrar la aceleración con respecto a la polea, pero ¿qué diferencia hay?

Gracias por leer esto. He buscado en varios libros y en Internet, pero la mecánica es brutal.

Answer 1

Problema I:

En primer lugar, como has indicado, la cinemática del movimiento ha cambiado con respecto al caso de una polea fija. Así que las aceleraciones de las dos masas no tienen por qué ser iguales en magnitud. El primer paso en cualquier problema de poleas debe ser centrarse en la cinemática del movimiento. Si $y_p$ representa la elevación de la polea por encima de la mesa, $y_1$ representa la elevación de la masa 1, y $y_2$ representa la elevación de la masa 2, entonces la longitud total de la cuerda inextensible es $$L=(y_p-y_1)+(y_p-y_2)=2y_p-y_1-y_2$$ Si diferenciamos esta ecuación dos veces con respecto al tiempo para obtener las aceleraciones, obtenemos: $$2a_p-a_1-a_2=0$$ Si la masa 1 no acelera, entonces $$a_p=a_2/2$$

Segunda pregunta: Estás imponiendo manualmente una fuerza de 50 N, y tu balance de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre sobre la polea muestra que la tensión en la cuerda tiene que ser de 25 N. El enunciado del problema no está tratando de engañarte. Tu propio análisis correcto lo ha revelado. Por supuesto, mirándolo de otra manera, la tensión está realmente relacionada con las masas, ya que es esta tensión la que está soportando el peso de la masa 2 y también impartiendo la aceleración a la masa 2. Así que es correcto utilizar cualquiera de las dos interpretaciones.

Tercera pregunta: Si hubieras dibujado un diagrama de cuerpo libre sobre la masa 1, te habrías dado cuenta de que has omitido una fuerza en la ecuación de equilibrio sobre la masa 1. La fuerza normal ascendente del tablero de la mesa sobre la masa 1 explica los 25 N que faltan.

Problema 2:

Utilizando 40 N para la tensión en la cuerda, a partir de un diagrama de cuerpo libre sobre la masa de 4 kg, la fuerza neta hacia arriba sobre la masa de 4 kg es $40-mg=0$ . Esto nos dice que la masa de 4 kg no está acelerando y que la fuerza normal hacia arriba ejercida por la mesa sobre esta masa es cero.

A partir de un diagrama de cuerpo libre sobre la masa de 2 kg, la fuerza neta hacia arriba es $40-mg=20 N$ . Esto nos dice que la aceleración absoluta hacia arriba de la masa de 2 kg es $a_2=20/2 = 10\ m/s^2$ . Ahora podemos emplear la ecuación que derivamos en el Problema 1 para calcular la aceleración absoluta hacia arriba de la polea: $$a_p=\frac{a_2}{2}=5\ m/s^2$$ Entonces la aceleración hacia arriba de la masa 2 relativa a la polea es: $$a_2-a_p=10-5=5\ m/s^2$$ Y la aceleración hacia arriba de la masa 1 respecto a la polea es $$a_1-a_p=0-5=-5\ m/s^2$$ . Es decir, la polea está acelerando hacia arriba en relación con la masa 1, o, equivalentemente, la masa 1 está acelerando hacia abajo en relación con la polea.