Desigualdad que implica Expectativa 3

Question

¿Cómo demostramos $\mathbf{E} \left(\frac{1}{X} \right) \geq \frac{1}{\mathbf{E}(X)}$ para la variable aleatoria $X$ ?

¿Podemos utilizar la desigualdad de Jensen?

Answer 1

Desigualdad de Jensen funciona desde $f(x)=\frac1x$ es convexo para $x\gt0$ . Es decir, Jensen dice $$ E(f(X))\ge f(E(X)) $$ También se puede utilizar Cauchy-Schwarz porque $$ E\left(\frac1X\right)E(X)\ge E(1)^2 $$