¿G es isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ ?

Question

Si $ G=\{3^{m}6^{n}|m,n \in \mathbb{Z}\}$ bajo multiplicación entonces quiero probar que este G es isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ ¿Puede alguien ayudarme a resolver este ejemplo? Gracias de antemano.

¿Puedo definir $\phi:\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} to G$ como $\phi\big((m,n)\big)=3^m 6^n$

Answer 1

Pista: Para encontrar un isomorfismo, necesitas encontrar dos generadores $g_1, g_2$ de $G$ que corresponden a $(0,1)$ y $(1,0)$ de $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ . Esto significa que cada elemento de $G$ puede expresarse unívocamente como $g_1^i g_2^j$ .

Answer 2

Pista: $2^k=3^{-k}6^k$ . ${}{}{}{}{}{}{}{}$