Para cada espacio vectorial $V$ ¿existe una función lineal $f$ ( un mapa lineal de $V$ a $F$ el campo subyacente ) tal que para algún $ \vec v \in V$ , $f(\vec v) \ne 0$ ? Si existe, ¿podemos demostrar su existencia sin el "axioma de elección"? ¿Es la existencia equivalente al axioma de elección?
Respuesta
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No, no se puede demostrar esto sin el axioma de la elección.
Dado cualquier campo, $F$ podemos ampliar el universo de la teoría de conjuntos, de modo que sobre $F$ hay un espacio vectorial que no está finitamente generado, pero cada subespacio está finitamente generado. En particular, esto significa que no hay funcionales lineales de este espacio vectorial al campo (porque un funcional lineal tendría un núcleo cuya codimensión es $1$ ).
Pero podemos hacer aún más. Incluso podemos demostrar que puede que no haya un funcional lineal de $\Bbb R$ a $\Bbb Q$ en algunos modelos en los que falla el axioma de elección. En particular, en modelos en los que tenemos continuidad automática (por ejemplo, modelos en los que todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue; o todos los conjuntos de reales tienen la propiedad Baire). En tales modelos, si $\varphi\colon\Bbb R\to\Bbb Q$ es un homomorfismo de grupo entonces tiene que ser continuo, y por lo tanto $0$ .
Por último, si la existencia de funcionales no triviales puede o no implicar el axioma de elección. Que yo sepa esto sigue abierto. Me imagino que la respuesta sería "casi positiva", en el sentido de que es negativo pero con algún aumento (por ejemplo, todo vector distinto de cero tiene una función lineal que lo asigna a $1$ ) podría resultar equivalente al axioma de elección.
