¿Es lo mismo una matriz semidefinida positiva que un número positivo en la optimización convexa?

Question

Consideremos el problema de optimización expresado de forma burda

$\max_{\mathbf{Q}}\sum w_ir_i$

donde $w_i$ son constantes, $r_i$ son funciones cóncavas de matriz semidefinida positiva $\mathbf{Q}$ satisfaciendo $\text{trace}[\mathbf{QA}]\leq P$ para cualquier otra semidefinida positiva $\mathbf{A}$ .

Dada la función objetivo y la región factible, el problema es obviamente un problema convexo. Estudié el concepto de multiplicador de Lagrange y KKT aplicado a restricciones expresadas en términos de funciones de valor real. Pero para la restricción definida positiva sobre $\mathbf{Q}$ ¿es posible adjuntarle un multiplicador KKT, como si $\mathbf{Q}$ ¿es un número real? Según algunos artículos, es posible. Pero, ¿alguna explicación sobre este concepto de tratar las matrices definidas positivas como números positivos y por qué está justificado, que, supongo, forma parte de una condición KKT más generalizada?

P. S. El problema es parte de mi problema de investigación y la función exacta no es importante aquí. Todo lo que necesito es una explicación del uso de la condición KKT en $\mathbf{Q}$ .

Answer 1

Busque SDP (programación semidefinida).

Su problema es \begin{align*} \text{Minimize} \quad &f(Q)\\ \text{such that} \quad & Q \succeq 0 \\ \text{and} \quad &\mathrm{trace}(Q \, A ) \le P\end{align*} Se puede asociar el Lagrangiano $$ L(Q, R, \lambda) = f(Q) + \mathrm{trace}(Q \, R) + \lambda \, \mathrm{trace}(Q \, A ), $$ para $R \preceq 0$ y $\lambda \ge 0$ . Si se cumple una cualificación de restricciones (CQ), las condiciones de optimalidad de primer orden son \begin{align*}L_Q = f'(Q) + R + \lambda \, A &= 0\\ \mathrm{trace}(Q \, R) &= 0\\ \lambda \, \mathrm{trace}(Q \, A ) &= 0 \end{align*} Es decir, la restricción semidefinida positiva obtiene un multiplicador semidefinido negativo $R$ que cumple la condición complementaria de holgura $\mathrm{trace}(Q \, R) = 0$ . Esto es similar al $\le$ que obtiene un multiplicador positivo.