Demostrar que la integral de $e^{k\cos t}\cos(k\sin t)$ de $0$ a $2\pi$ es igual a $2\pi$

Question

Demostrar que $$I=\int_0^{2\pi}e^{k\cos t}\cos(k\sin t)\,dx=2\pi$$ y demostrar que $$J=\int_0^{2\pi}e^{k\cos t}\sin(k\sin t)\,dx=0$$ Con la ayuda de la siguiente integral: $$H=\int_{|z|=1}\frac{e^{kz}}{z}\,dx$$ He demostrado que el : $$H=\int_{|z|=1}\frac{e^{kz}}{z}\,dx=2i\pi$$ y probé que $$I+iJ=\frac{H}{i}=2\pi$$ pero ¿qué debo hacer a continuación para demostrar que $I=2\pi$ o para demostrar que $J=0$ ? ¿Es utilizando $Re(z)=\cos t$ ?

Answer 1

He demostrado que el : $$H=\int_{|z|=1}\frac{e^{kz}}{z}\,dx=2i\pi$$ y probé que $$I+iJ=\frac{H}{i}=2\pi$$ pero ¿qué debo hacer a continuación para demostrar que $I=2\pi$ o para demostrar que $J=0$ ? Desde $ t $ es un número real, ambas integrales $I$ y $J$ son reales. Lo que significa que podemos comparar ambos lados de la ecuación $$I+iJ=2\pi$$ , $$I+iJ=2\pi+0i$$ que conduce a $$I=2\pi$$ $$J=0$$ . Fin de la solución.